Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

субъективного переживания необычных явлений, проявляется интеграция нескольких процессов в нервной системе, которые сильно взаимодействуют между собой и слабее с другими. В обоих случаях есть те, кто утверждает, что физические нюансы функционирования мозга не могут дать полного объяснения явления и что существует требующий анализа скачок между двумя уровнями реальности. Вновь находим в этой связи натуралистическим образом обновленные варианты каузальной теории или картезианского дуализма. Продолжаются попытки расположить снаружи место опыта, относящегося к сознанию, к примеру, зрительный опыт – в пространство, где находятся тела, о видении которых свидетельствует сознание35. Позиция платониста в отношении сущностей, постигаемых интуицией, ничем не отличается от этого. В обоих случаях можно присоединиться к замечанию, что «отражением человеческого высокомерия является тот факт, что целые философские системы были построены на основе субъективной феноменологии»36.

35M. Velman, Understanding Consciousness, London, Routledge, 2000.

36G.M. Edelman, G. Tononi, Consciousness – How Matter becomes Imagination, London, Penguin Books, 2000. Не цитируем другие источники из длинного списка свежей литературы о сознании.

140

Феноменология

4. ФЕНОМЕНОЛОГИЯ

Это трудный термин, обозначающий сложную философию, которую не будем обсуждать в деталях, поскольку нельзя даже сказать, что она является, собственно говоря, философией математики. В данном контексте она означает размышление, которое берет начало и вдохновение из философии Э. Гуссерля (1859–1938). Гуссерль был математиком, учеником К. Вейерштрасса. Он написал «Философию арифметики», был собеседником Кантора и Фреге. Затем посвятил себя построению своей феноменологии. В отношении математики феноменология не является завершенной философией и не очень известна1. Интерес, который сегодня проявляется к этому течению, обусловлен тем обстоятельством, что сам Гёдель во второй половине своей жизни размышлял, исследовал и многократно призывал изучать философию Гуссерля. Учитывая этот факт и другие совпадения, нужно классифицировать позицию Гёделя, в действительности, не какплатонизм, акакфеноменологию2.

Еще раньше Гёделя испытал влияние Гуссерля Г. Вейль. Он учился в Гёттингене, когда Гуссерль там преподавал. Они поддерживали отношения и обсуждали публикацию Das Kontinuum, 1918, которую Гуссерль очень ценил. Он одобрял обращение математика к логико-математической интуиции3. Видение Вейля настолько индивидуально и многогранно, что у нас еще будет возможность

1Среди математиков и философов математики, испытавших влияние Гуссерля в первой половине двадцатого столетия, были О. Беккер (O. Becker)

иФ. Кауфман (F. Kaufmann). Смотри, к примеру, O. Becker, Mathematische Existenz. Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phänomene, in «Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forshung», 8, 1927, pp. 439– 809 и Beiträge zur phänomenologische Begründung der Geometrie und ihrer physikalischen Anwendungen, ibidem, 6, 1923, pp. 385–560; F. Kaufmann, Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung, Wien, Franz Deuticke, 1930.

2R. Tieszen, Gödel’s path from the incompleteness theorems (1931) to phenomenology (1961), in The Bulletin of Symbolic Logic, 4, 1998, n. 2, pp. 181–203.

3D. van Dalen, Four letters of E. Husserl to H. Weyl, in «Husserl Studies», 1, 1984, pp. 1–12.

141

Философия математики: наследие двадцатого столетия

обсудить его неоднократно, в частности, по поводу конструктивизма, и в этой связи поговорим также о Гуссерле.

Еще одним известным современным последователем и пропагандистом концепции Гуссерля был Джан-Карло Рота4.

Основные идеи и ключевые слова феноменологии можно представить следующим образом:

человеческое познание, включая математическое, выказывает и характеризуется интенциональностью, что означает постоянную направленность познания на что-то, присутствие интереса к чему-то, подталкивающегокизучению; сознаниетакжеестьвсегдасознаниечего-либо;

когнитивные акты являются перспективными и не могут никогда собрать воедино все перспективы объекта или темы; никогда нельзя получить какой-то опыт в одном единственном акте;

разум устанавливает категории; когнитивные акты в каждое мгновенье всегда относятся к определенным категориям объектов, и эти категории можно назвать идеями или сущностями;

сущности выражают то, что дано в опыте на определенной стадии познания; они являются всеобщими, но имеют связи и ограничения, поэтому не каждая вещь может быть их примером; мы знаем, что определенные вещи являются примерами некоторой сущности, а другие – нет; в этом смысле можно сказать, что

мы имеем некоторое усмотрение категории на каждой ступени познания, которое может становиться со временем более отчетливым в результате различных уточнений;

мы никогда не имеем полного или законченного усмотрения какой-либо сущности; работа по уточнению является всегда актуальной и необходимой; это не означает, что сущности, которые мы знаем, насколько уж знаем или схватываем их, не являются полезными для нашей практики;

«схватывать категории» понимается так же, как «интуитивно понимать сущности»; используется слово «интуиция», поскольку сущность при размышлении о нашем опыте дана нам непосредственным образом, как нечто данное, предшествующее нашему анализу или сравнению ее с другими сущностями, предшествующее также нашему знанию о том, существует или нет пример этой сущности.

4 G.-C. Rota, Discrete Thoughts, Basel, Birkhäuser, 1986; итал. перевод Pensieri discreti, Milano, Garzanti, 1993, cap. 12, 13, 20.

142

Феноменология

Гуссерль отличал науку о фактах от науки о сущностях. Феноменология не является естественной наукой, поскольку сущности не являются ни объектами, ни фактами. Тем не менее, наука идей возможна, феноменологияиестьэтанаука, котораядлясвоейреализациинедолжна слепо подражать естествознанию. Гуссерль противостоял точке зрения, которую называл натуралистической, которая «так затрудняет для всех нас рассмотрение «сущностей» или «идей» или, скорее (начиная с того момента, какмыэтоделаем, посколькумы, таксказать, ихрассматриваем постоянно), осложняет принятие допущения с нашей стороны, что они имеют особое значение, которое принадлежит им, вместо абсурдных попыток их натурализовать. Интуитивное понимание сущностей не скрывает бόльших трудностей или «мистических» секретов, чем того требует восприятие… Но не нужно ни в каком случае скоропалительно, для «удобства произношения», идентифицировать «вещи» с «эмпирическими фактами». Это означало бы закрывать глаза перед идеями, которые, в конце концов, в значительной степени даются нам абсолютным образомвмгновенноминтуитивномпознавательномакте»5.

На первый взгляд, математики все это совершенно не касается, однако не нужно недооценивать эмоциональное влияние того факта, что нашелся современный философ, который утверждает, что возможна наука о сущностях. Достаточно заменить «сущности» на «математические объекты», и мы увидим перспективу, в которой математика может быть вновь возведена на трон рациональности.

Гуссерль критиковал платонизм и математический реализм в целом как наивные течения, поскольку они располагают сущности вне любого возможного опыта, рассматривают их как вещи в себе,

вто время как мы намеренно ориентированы на сущности и имеем

кним доступ благодаря интенциональности.

На основе этого краткого терминологического введения, с учетом многократных советов Гёделя изучать Гуссерля, приходит понимание того смысла, который следует придавать его рассуждениям о рациональном восприятии. Нужно вновь обратиться к вышеприведенным цитатам уже в свете гуссерлианского подхода. В действительности, два уровня размышлений проясняют друг друга. Размышления Гёделя можно рассматривать как попытку прояснить и обосновать отдельные опорные точки феноменологии: рациональное восприятие, посредством которого схватываем наибо-

5 Цитировано по R. Tieszen, Gödel’s path, уже цит.

143

Философия математики: наследие двадцатого столетия

лее общие математические идеи и их отношения, является аналогией чувственной интуиции; и на рациональное восприятие, и на интуицию накладываются определенные связи и ограничения; в обоих случаях возможно развитие заблуждений; оба демонстрируют определенный вид неисчерпаемости.

Еще одна гуссерлианская тема встречается при обсуждении Гёделем проблемы континуума. По этому поводу он утверждал, что возможно некоторое удовлетворительное основание теории множеств Кантора, если мы готовы допустить, что математические объекты существуют независимо от наших построений и от нашей способности обладать интуицией каждого из них в отдельности. Требуется только, чтобы основная итеративная идея множества (или лучше сказать, концепция повторения концепции «множества чего-то», которая приводит к общей иерархии множеств) была бы достаточно ясной, чтобы можно было признать корректность и истинность аксиом, которые к ней относятся. Нет необходимости иметь прямую интуицию континуума, чтобы разрешить контину- ум-гипотезу, может оказаться вполне достаточным лишь адекватное понимание (схватывание) совокупной иерархии. В конечном счете требуется только, чтобы «основные математические идеи» были бы схвачены достаточно ясно, и тогда не нужна интуиция каждой индивидуальной реализации рассматриваемой сущности для прояснения понимания самой сущности.

Гёдель, посредством явной ссылки на Гуссерля, утверждает, что «уяснение смысла состоит в более пристальном концентрировании на рассматриваемых идеях, управляя соответствующим образом вниманием, то есть, обращая его на акты, которые совершаем при рассмотрении этих идей, на нашу способность выполнять эти акты […] Феноменология представляет собой процедуру или технику, которая должна произвести в нас некое новое состояние понимания, в котором мы сможем четко описать фундаментальные идеи, которые мы используем в нашем мышлении, или уловить другие идеи, до сих пор не осознанные»6.

Сильные аксиомы бесконечности, в частности, представляют собой ряд аксиом, которые требуют многочисленных независимых рациональных восприятий в направлении уяснения значения основной идеи множества. Аксиомы далеко не очевидны с самого начала,

6 Цит. по R. Tieszen, Gödel’s path, уже цит.

144