Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

рые могут быть доказанными или нет. Именно в гипотезе, в постулированной начальной структуре мы видим природу математических объектов.

Если следовать в направлении разделения объектов и методов, то окажется, что в качестве объектов останутся только натуральные числа. В этом Конн, как настоящий француз, проявляет и признает влияние позиции Пуанкаре (Poincaré), которую, однако, нелегко защищать. Возникает вопрос, в действительности, что видит математик, когда заявляет об интуитивном восприятии чисел, находящихся вне их представлений (способов записи), например, в десятичной форме, представлений, которые не имеют реальности. Кажется, что остаются реальными только отдельные автономные числа, а их отношения – уже нет, хотя они тоже являются объектом арифметики. Возможно, платонист их видит лишь в наиболее простом и лаконичном представлении, так называемом унарном, в соответствии с которым число n представляется последовательностью |||…|| из n вертикальных палочек. Таким образом, открывается путь к более логичной позиции тех, кто считает числа словами, образованными эффективно исчисляемым процессом.

Как альтернативный вариант, платонист, на манер Конна, может утверждать, что видит структуру чисел в ее всеобщности. Она представляет собой структуру с особенным типом порядка. Видеть ее означает видеть только некоторое упорядоченное множество. Так мирмножествпоявляетсяпо существунагоризонтеплатонизма.

В отличие от логика Гёделя, математик-платонист обычно не является фанатиком теории множеств. Он может допускать, что существует на заднем плане мир множеств, однако, по большому счету, мало заинтересован в теоретико-множественных определениях математических сущностей, в теоретико-множественной редукции математики, оставляя все это логикам. Он обсуждает более охотно независимые структуры и склоняется к рассмотрению отдельных автономных типов сущностей. Осторожность более чем оправданна, поскольку неизвестно, где же прятались множества все это время?

Однако если платонизм доходит до признания реальности множества натуральных чисел, тогда теоретико-множественные

130

Платонизм

обязательства неизбежно приведут к тому, что он перестанет сопровождаться редукционизмом (целые числа являются множествами – классами эквивалентности – пар натуральных чисел, рациональные числа есть множества – классы эквивалентности – пар целых чисел, действительные числа есть множества рациональных и так далее). Редукционизм, однако, стремится заместить собой созерцательный интуитивный платонизм и пробивает брешь, в которую он может весь выйти. Он подсказывает, что математик конструирует математические объекты логически, используя инертную и не дифференцированную материю, представленную множествами, которые сами по себе являются не математическими объектами, а скорее логическими. Истинный платонист, если он не желает рассуждать о конструкции, должен философски утверждать, что уже существует мир множеств со всеми многообразными возможными, актуальными и будущими комбинациями этой базовой материи, представленными и организованными в математически воспринимаемой форме структур, и что только сейчас стало понятно, что именно эта материя базовая. Однако не таков подход Конна, который ставит себя в трудную позицию, утверждая, что эти формы, хотя и интересные, не являются математической реальностью. В некотором смысле он прав, поскольку конструирование структур, отталкиваясь от базовой материи множеств, может производить их без конца, но фактически только некоторые из этих структур интересны, и именно они не вытекают из теоретико-множественных соображений.

В конце концов, будь он реалистом любого толка, платонист не может избежать вопроса об универсуме множеств и встречает лицом к лицу факт, что универсум не единственен, что рядом с первым появляются другие, которые пытаются узакониться.

У гиперплатониста может быть меньше проблем, поскольку он мог бы утверждать, что структуры, которые его интересуют, которые представляют собой особые множества, являются инвариантными в моделях теории множеств, теми же самыми в разных мирах, или что возможные различия касаются второстепенных аспектов математической деятельности. Последнее заявление, к сожалению, не верно, как подчеркивает всегда Гёдель, когда напо-

131

Философия математики: наследие двадцатого столетия

минает, как аксиомы, которые отличают разные миры, влияют даже на элементарную арифметику, определяя в том или ином смысле какое-то неразрешимое высказывание. Далее, структура действительных чисел значительно отличается в различных мирах, и утверждать весьма произвольно, что отличия не важны, значит уродовать признанную и интересную часть математики без какихлибо критериев, которые позволили бы обосновать такие усечения, как это могло бы быть в номинализме. Все это происходит лишь от (вредных) привычек.

Для сторонника простого реализма, без сомнений, эта ситуация полна драматизма, поскольку он должен являться также последователем реализма истинностных значений и, следовательно, не может допускать наличие многих миров или неопределенность в отношении правильного, настоящего универсума. Гёдель надеялся найти критерии для того, чтобы определить и устранить нежеланные миры.

Одним из решений может быть обращение к логике второго порядка27. С ее помощью описываются однозначным образом структуры, которые, если они определены аксиомами языка первого порядка, имеют также нестандартные реализации. Натуральные числа, действительные числа, мир множеств подчиняются этому условию. Здесь, однако, начинается еще одна бесконечная глава в дискуссии о том, является ли логика второго порядка, собственно, логикой или нет28. Она допускает квантификацию свойств и, следовательно, фактически множеств. Это логика неформальная, использованная теми, кто продемонстрировал результаты о категоричности (Дедекинд для натуральных чисел, Гильберт для действительных чисел, Цермело для теоретико-множественного универсума, причем последний, не неформальным образом, а в поле-

27По поводу понятий логики см. G. Lolli, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il Mulino, 1991.

28Даже не будем пытаться привести библиографию по этой дискуссии. По поводу ее влияния на философию математики см. S. Shapiro, Foundations without Foundationalism. A Case for Second-Order Logic, Oxford, Oxford Univ. Press, 1991.

132

Платонизм

мике с Т. Сколемом29 как раз по поводу выбора легитимной логики). Однако если уточняется семантика логики второго порядка, то видно, что и ее свойства, и свойство категоричности зависят от того допущения, что множеств имеется столько, сколько предусматривается в теории множеств непредикативной теоремой Кантора о множестве подмножеств. Критики утверждают, что логика второго порядка представляет собой в действительности теорию множеств. Из этого замкнутого круга пока не появилось ни одного заслуживающего доверия и общепризнанного выхода. К проблемам логики вернемся при рассмотрении логицизма.

В заключение перефразируем разочарованного, но упорного платониста, Николаса Гудмэна. В ходе девятнадцатого века, в то время как все двигалось вперед к построению новой математики, обнаружилось отсутствие ее оснований в том смысле, что не было никакого единообразного и систематического представления структур, которые становились объектами изучения. Необходимо отметить, что, когда появилась теория множеств, она сыграла положительную роль, поскольку объясняла, что такое числа и структуры, и в этом не пересекалась с ежедневной работой математиков, которые могли сохранить свой язык и свои специфические техники и, возможно, обогатить их. Теория множеств создавала удобную и элегантную основу, однако вскоре оказалась в затруднительном положении.

С теорией множеств всегда случаются какие-то проблемы. Сначала парадоксы, потом проблемы с неполнотой и пролиферацией моделей. Конечно, можно избежать заявлений по поводу того, что представляют собой структуры, как увидим в структурализме. Тогда, однако, ускользнет онтологический аспект, поскольку это, собственно, задача онтологии – сказать, чем являются абстрактные сущности. Если необходимо все-таки сказать, что они из себя представляют, нужно обращаться к теоретико-множест- венному языку, так как нет никакого другого аналогичного высоко развитого средства для этих целей. И никто не разовьет его, кроме

29 G. Lolli, Da Zermelo a Zermelo, in Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, Bologna, Il Mulino, 1985, cap.VII.

133

Философия математики: наследие двадцатого столетия

самих математиков. Именно они, возвращаясь к уже поднятому вопросу, говорят, что представляют собой математические объекты, они применяют этот язык, и онтология должна ему соответствовать.

Либеральные платонисты могут попробовать допустить разнообразные универсумы, однако наш физический мир – один, как был когда-то один и мир математики, по крайней мере, мифы рассказывают об этом. Несмотря на все преимущества, происходящие от большей свободы пролиферации теорий, единство и однозначность математики должны, тем не менее, оберегаться, что справедливо и для всей науки в целом. Гудмэн30 пишет:

Мне кажется, что математика может достичь расцвета только в том случае, если существует одна концепция, разделяемая всеми в наших целях и интересах, следовательно, если есть согласие по поводу факта, что различные структуры, которые мы изучаем, являются аспектами одной и той же реальности… Это практическая реальность, когда теоремы дают информацию о мире, когда существует только одна наука. Таким образом, философия должна выяснять объективное содержание фактов в рамках более широкой философии науки, обосновывая то, что есть только один мир, и объясняя, как и почему математические объекты, хотя и не принадлежат этому миру, так эффективны в нем. Но эта философия не существует.

Может быть, и хорошо, что не существует, если в этом должна состоять ее функция. Не может быть какой-то другой философии, которая решала бы поставленные проблемы. Не может быть философии, которая диктует, какие структуры правильные, общие для различных миров и исследований.

Философия, предписанная моральными требованиями, есть благая иллюзия, беспочвенные мечтания, wishful thinking, однако платонизм, кажется, поддерживается теми, кто разделяет его лишь по причине сильной наивной убежденности в своих собственных субъективных ощущениях (хотя и разделяемых многими). Платонисты заявляют о ясном видении математической реальности, которая им представляется совершенно определенной. Они, в самом деле, имеют ощущение работы с панорамой чисел и фигур, кото-

30 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит.

134