Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Трансфинитные объекты теории множеств, совершенно очевидно, не принадлежат физическому миру, и, также, их косвенная связь с физическим опытом представляется очень слабой (прежде всего потому, что теоретикомножественные концепции играют малозначительную роль в современных физических теориях).

Однако несмотря на их отдаленность от чувственного опыта, мы обладаем определенным восприятием даже объектов теории множеств; это видно из факта, что их аксиомы представляются нам истинными. Не вижу, почему мы должны меньше доверять этому восприятию, то есть математической интуиции, чем доверяем чувственному восприятию, которое побуждает нас создавать на его основе наши физические теории и ожидать, что будущие сенсорные восприятия соответствовали бы им, и, более того, верить, что нерешаемые сегодня проблемы имели бы, тем не менее, определенный смысл и были бы решены в будущем. Парадоксы теории множеств беспокоят математику не более, чем обман наших чувственных наблюдений беспокоит физику. Была уже отмечена ранее вполне вероятная возможность того, что новые математические интуиции привели бы к решению таких проблем, как конти- нуум-гипотеза Кантора…

Заметим, что математическая интуиция не должна пониматься как способность, которая дает нам мгновенное знание интересующих нас объектов. Наоборот, кажется, что, как в случаес физикой, мыформируем наши идеи об этих объектах также на основе чего-то другого, что дано нам непосредственно. Только это нечто другое не есть или непредставленоглавным образом ощущениями. То, что это нечто другое, помимо ощущений, дается непосредственно, следует (без какой-либо ссылки на математику) из факта, что даже наши идеи относительно физических объектов содержат составляющие, которые качественно отличны от ощущений или от их простых комбинаций, к примеру, сама идея объекта, в то время как с другой стороны, в нашем мышлении мы не можем создать ни одного качественно нового элемента, а только воспроизводить и комбинировать те, которые уже даны. Очевидно, что эти «данные», которые находятся под математикой, тесным образом связаны с абстрактными элементами, которые содержатся в эмпирических идеях. Отсюда абсолютно не следует, однако, что данные этого второго типа, поскольку они не могут быть соотнесены с какими-либо воздействиями определенных вещей на наши органы чувств, были бы чем-то чисто субъективным, как утверждал Кант. Наоборот, они также могут представлять определенный аспект объективной реальности, если только, в отличие от ощущений, их присутствие в нас не обусловлено другим родом отношений между намиидействительностью.

Анти-эмпиристский аргумент, который Гёдель упреждающе использует против каузальной теории познания, то есть то, что даже наши идеи о физических объектах содержат в себе некото-

120

Платонизм

рый компонент, качественно отличный от ощущений, хорошо задуман и почти убедителен. Он предупреждает возражения, которые получат большой резонанс и будут использованы антинеопозитивистской философией, которая создаст из них несущую конструкцию своей теории (англ. theory ladeness) чувственных знаний любого рода15.

Однако аргумент Гёделя, в лучшем случае, представляет собой лишь аналогию. Он разрушает наиболее простые возражения, критикуя наивную характеристику чувственного восприятия как чегото полностью материального. Доказывать, что математическая интуиция представляет собой человеческую способность, является вопросом совершенно другого рода. И действительно, Гёдель продолжает следующим образом:

Вместе с тем, вопрос объективного существования объектов математической интуиции (что является, заметим мимоходом, точным повторением вопроса об объективном существовании внешнего мира) не является решающим для обсуждаемой проблемы. Простого психологического факта существования интуиции, которая достаточно ясна, чтобы произвести аксиомы теории множеств и целый открытый ряд их расширений, достаточно, чтобы придать смысл вопросу об истинности или ложности высказываний типа континуум-гипотезы Кантора.

Однако тем, что, может быть, более любой другой вещи, оправдывает принятие этого критерия истины для теории множеств, является тот факт, что многократные обращения к математической интуиции необходимы не только для того, чтобы иметь однозначные ответы на вопросы теории трансфинитных множеств, но также для решения проблем финитной теории чисел (типа гипотезы Гольдбаха), где невозможно сомневаться в значимости и в недвусмысленности обсуждаемых концепций. Это вытекает из того факта, что для каждой аксиоматической системы всегда имеется бесконечное число неразрешимых высказываний такого типа.

Гёдель утверждает, следовательно, что суть не в проблеме существования объектов интуиции, которая ожидает решения. Для него важно, чтобы не было неопределенных высказываний, то есть важен реализм значений истины. Для этого не нужны объекты ин-

15 Последующую философскую разработку этой идеи (W. Sellars, N.R. Hanson) и ее предысторию см. G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, уже цит.

121

Философия математики: наследие двадцатого столетия

туиции, а важно то, что интуиция дает нам в смысле высказываний, которые полагаются истинными и принимаются в качестве новых аксиом. Такое видение формирует подход, весьма отличный от онтологического платонизма, который рассмотрим далее. По этому поводу напомним уже цитированную остроту Бурбаки о том, что «возможно, это ощущение [работы с чем-то реальным] – иллюзия, но очень удобная иллюзия».

Другие платонисты пытались обогатить гёделевское обоснование интуиции дополнительными доказательствами. Вот аргумент Конна16, основанный на непротиворечивости:

Сравним математическую реальность с материальным миром, который нас окружает. Что доказывает реальность этого материального мира, кроме ощущений, которые получает оттуда наш мозг? Главным образом, непротиворечивость наших ощущений и их постоянство. Точнее, непротиворечивость осязания и зрения в одном индивиде. И непротиворечивость ощущений различных индивидов. Представляется, что математическая реальность имеет ту же самую природу.

Этот аргумент, в действительности, противоречит Гёделю. Осязание и зрение являются непротиворечивыми для Гёделя только в силу некоторой идеи объекта, которая их объединяет, а не непротиворечивость сама по себе доказывает реальность, генерируя идею объекта.

Исследование или постулирование аналогий между физическими и математическими объектами или между их восприятиями, кажется, основано на petitio principii17. Если в математике мы говорим об объектах, то попробуем обосновать их, как обосновываем физические объекты. Вспомним в этой связи номинализм и гипотезу формирования идеи абстрактных объектов. Сначала о числах говорится с помощью предложений, имеющих ту же самую грамматическую структуру, что и фразы бытового языка. Потом осознается, что числа невозможно найти на дороге, и тогда их называют абстракциями. С другой стороны, их называют также объектами, поскольку нам привычно так говорить о них. Если такой анализ корректен, то именно язык играет определяющую роль,

16J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 28.

17Аргумент, основанный на выводе из положения, которое само еще требует доказательства (лат. – прим. переводчика).

122

Платонизм

и именно его необходимо исследовать, а не загадочный подвид шестого чувства.

Понимание платоновской интуиции у Гёделя и у Конна различно. С одной стороны, это способность, которая дает знание. С другой – аналог ощущения, который придает смысл существованию математических объектов.

Для Конна природа математической реальности отличается от природы физического мира. Она представляется ему, что неизбежно, природой высшего порядка:

Я полагаю, что математик развивает «чувство», несводимое к зрению, слуху и осязанию, которое позволяет ему воспринимать некую реальность, имеющую свои законы, как и физическая действительность, но гораздо более стабильную, поскольку она не локализована в пространстве-времени18.

С другой стороны, если эта реальность «более стабильна», чем физическая, то может появиться сомнение в обоснованности применения Конном одинаковых идентификационных критериев в обоих случаях.

Необходимо отметить, что, к чести некоторых платонистов, они делают определенную оговорку по поводу вышеупомянутой стабильности несмотря на то, что подобное допущение бросает тень на всю концепцию. К примеру, Пенроуз утверждает по поводу неоспоримых истин (англ. unassailable truths), балансируя на грани несостоятельности19:

По мере того как математики приобретают опыт, их точка зрения на то, что они считают неоспоримыми истинами может меняться (если предположить, что они вообще рассматривают что-то в качестве неопровержимых истин). Вполне здравым компромиссом является возведение некоторого ряда принципов и мнений в ранг безусловных истин и проведение дальнейшего аргументирования на их основе.

Это замечание Пенроуза ставит еще один связанный с интуицией эпистемологический вопрос, на который платонизм должен дать ответ, чтобы считаться философией математики. Чтобы отвечать критерию объективности Николаса Гудмэна, платонизм, кро-

18J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 34.

19R. Penrose, Shadows of the Mind, уже цит., p. 103.

123

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ме обсуждения существования абстрактных объектов и нашего непосредственного интуитивного восприятия их, должен обогатиться и другими аспектами. И действительно

математика состоит из истин относительно абстрактных структур, которые существуют независимо от нас, логических доказательств, которые устанавливают эти истины, конструкций, которые скрепляют эти доказательства, формального манипулирования символами, которое позволяет выразить эти доказательства и истины, и из ничего более20.

Допущение Гёделя о том, что интуиция не является прямой формой познания, отражало, вероятно, также понимание важности извилистых, косвенных аргументирующих шагов в развитии математики. Платонист испытывает определенные трудности при объяснении роли доказательства.

Если предполагается, что математика производит истину, и считается, что математики главным образом посвящают себя доказательствам и ежедневно занимаются ими, то напрашивается вывод, что доказательства производят истину и знание. Это заключение само по себе спорное, если вспомнить вековую полемику по поводу пустого и стерильного характера логики, и оно, кроме того, не разделяется многими математиками, которые боятся, что их будут считать логиками. Им кажется, что построение математического доказательства не имеет ничего общего с простотой и прямолинейностью доказательства логического.

Доказательства чисто логические не доказывают ничего, что лежало бы вне логики. Доказательства математические выводят логические следствия из предположений, даже если они и не являются логическими истинами. Математические предположения – это аксиомы. Математические истины бывают, по крайней мере, двух типов: аксиомы и теоремы. Чтобы найти место для доказательств, можно ограничить роль интуиции познанием аксиом, а функцией доказательств было бы тогда познание производных истин. Гёдель, по крайней мере, говорит об интуиции всегда в отношении аксиом теории множеств.

20 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит.

124