Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Платонизм

природы математических объектов не представлялась драматической. Математика просто и удивительно выражала численные и геометрические характеристики нашего мира. Ее истины были об этом мире и принадлежали этому миру, хотя и обладали характером необходимости. Даже возможные платоновские Идеи не обитали в Гиперурании, а образовывали определенную схему и основу мира. Аристотелизм и платонизм могли продолжать сражаться на метафизической сцене и, также, на гносеологической, но с невеликими последствиями для математики. Эта философия, которую можно назвать возрожденным Пифагоризмом, ушла безвозвратно.

Всемнадцатом веке были только геометрия и алгебра, только начиналась разработка анализа бесконечно малых. В конце девятнадцатого столетия математика охватывала уже такие теории, как теория множеств, теория функций действительного и комплексного переменного, проективная и неевклидовы геометрии. По сравнению с математикой времен Прокла, когда Нил заливал поля египтян, произошли, конечно, огромные изменения.

Вто время как геометрия и алгебра предлагали теории, которые не описывали и не измеряли макромир с тремя измерениями, представители анализа должны были научиться работать с массой новых бесконечных объектов – функций, о которых говорил Эрмит. Однако его позиция в духе платонизма была не единственной.

Втот же период Г. Кантор и Р. Дедекинд, создатели теории множеств, говорили contra Эрмит о свободной математике, свободном творчестве ума, а Фреге утверждал, что натуральные числа – концепции.

Встала во весь рост проблема поиска нового объяснения для математики, и имелись два принципиально различных варианта: с одной стороны, признание собственной объективной реальности математики и, с другой стороны, ее существование в уме, или порождение ее умом, признание того, что математика есть творение духа или разума.

После Эрмита многие знаменитые математики признались, что являются убежденными платонистами, к примеру, Харди6:

6 G.H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1941, pp. 63–64.

115

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Математическая реальность лежит вне нас, и наша задача – открыть ее и наблюдать ее, и теоремы, которые мы доказываем и которые красноречиво описываем как наши «творения», являются просто отчетами о наших наблюдениях.

В наши дни Конн пишет7:

Я склоняюсь скорее к реалистической точке зрения. Для меня простые числа, к примеру, более реальны, чем материальная действительность, которая нас окружает. Можно сравнить работу математика с работой первооткрывателя мира.

Но обаяние платонизма опирается, прежде всего, на авторитет Гёделя, который не ограничился одной лишь верой, а пытался обосновать его. Он говорил о классах, поскольку его деятельность пришлась на тот период, когда теория множеств была толькотолько признана в качестве каркаса всей математики8:

Классы и концепции могут также рассматриваться как реальные объекты и, именно, классы как «множественности объектов» или как структуры, которые состоят из множественностей объектов, и концепции как свойства и отношения между объектами, которые существуют независимо от наших определений и построений.

Мне кажется, что признание подобных объектов не менее законно, чем признание физических тел, и что есть такое же основание верить в их существование. Они необходимы для обеспечения приемлемой системы математики в том же самом смысле, в котором физические тела нужны для удовлетворительной теории наших сенсорных ощущений, и в обоих случаях невозможно интерпретировать суждения, которые необходимо высказывать об этих объектах, иначе как утверждения о «данных», то есть во втором случае о действительных сенсорных ощущениях.

Отметим, что Гёдель говорит предусмотрительным образом о физических телах, а не о сомнительных объектах физической теории. Он, возможно, имеет в виду изначальное признание физических тел, подобное тому, к которому апеллирует выше, к примеру,

7J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 20.

8K. Gödel, Russell’s Mathematical Logic, уже цит. Гёдель с благосклон-

ностью комментирует и перефразирует выражения Рассела «так же, как», «более чем далее», утверждение, что аксиомы обоснованы историей и практикой математики.

116

Платонизм

Николас Гудмэн, признание, которое необходимо для того, чтобы рассуждения о физике не сводились к субъективным ощущениям, и устанавливалась бы определенная основа для объективности.

Гёдель вполне осознавал, что выдвижение подобного тезиса приведет к простому и очевидному вопросу в отношении позиции платонизма, который и был впоследствии поставлен П. Бенацеррафом9. Речь идет о вопросе по поводу специфической способности или по поводу типа опыта, который позволил бы нам установить отношение между двумя такими разнородными сферами, как материальный мозг и абстрактные сущности. Онтологический платонизм должен сопровождаться некоторой эпистемологической теорией, а не довольствоваться тайной в отношении связей между реальностью Платона и реальностью материальной, представленной миром внешним или внутренним, то есть мозгом, тайной, которой довольствовался Эрмит10:

Эти понятия Анализа… образуют нечто целое, из которого только одна часть нам открыта неоспоримым образом, хотя она и таинственно связана с другойсовокупностьювещей, которыемывоспринимаемпосредствомчувств.

Возражение, что гипотетические платоновские сущности не могут быть познаны, основано на принципе, который философы называют каузальной (причинной) теорией познания. Эта теория, если быть кратким, полагает, что то, что должно быть познано, является причиной знания в смысле установления какого-то контакта и воздействия определенного рода на познающего субъекта. Отсюда вытекает нечто, похожее на силлогизм:

Каузальная теория познания.

Люди не имеют никаких каузальных отношений с абстрактными сущностями.

9 P. Benacerraf, Mathematical truth, in Journal of Philosophy, 70, 1973, pp. 661–680, перепечатано в P. Benacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathematics, 2 ed., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1983, pp. 403–420. Для баланса мне-

ний в дискуссии, которая последовала за его первой статьей, см. P. Benacerraf,

What Mathematical Truth could not be – I, in The Philosophy of Mathematics Today, подред. M. Schirn, Oxford, Clarendon Press, 1998, pp. 33–75.

10 Цитировано в A. Dresden, Some philosophical aspects of mathematics, in Bulletin AMS, 3, 1928, pp. 438–452.

117

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Следовательно, люди не могут иметь знания об абстрактных сущностях.

Подобный аргумент используется со времен Декарта его критиками. Картезианское различие между res cogitans и res extensa ставило проблему возможности познания второго первым. Декарт разрешал проблему на основе двух исходных положений: с одной стороны, res extensa, субстанция, из которой сделан мир, есть не что иное как геометрия; с другой стороны, он постулировал, что мы обладаем прямым и достоверным знанием ясных и отчетливых идей, знанием, которое гарантировано Богом, и, следовательно, большое количество малых, но ясных и четких, шагов обеспечивало ясность и отчетливость всего оставшегося знания, которое само по себе не было ясным и отчетливым.

Сейчас ситуация поменялась кардинальным образом, и даже те, кому идеи Декарта симпатичны, уже не могут спасти эту философию. Сегодня рассмотрение производится прямо противоположным образом. Познающий субъект чаще всего, за исключением, пожалуй, мнения некоторых философов-идеалистов, идентифицирован с познавательными способностями, которые связываются с материальным мозгом. Познаваемая же реальность не является более материальной и даже не представляется материальными телами (как в пифагоризме).

А. Конн

С одной стороны, существует независимо от человека математическая реальность, грубая и неизменная. С другой стороны, мы познаем ее только благодаря нашему мозгу ценой, как говорил Валери, редкостного смешения концентрации и желания. Я, следовательно, отделяю математическую реальность от инструмента, который мы имеем для ее изучения, и допускаю, что именно мозг является материальным инструментом исследования, который не имеет ничего божественного и не должен ничего трансцендентности.

Ж.-П. Шанжё (J.-P. Changeux)

Термин независимый [в отношении существования математических объектов] требует определения. В рамках платоновского реализма он обозначает нематериальность. Однако хотелось бы знать основу этих математических

118

Платонизм

объектов, которая поддерживает существование независимо от человеческого мозга…

А. Конн

Полагаю, что нужно быть внимательными и не путать математическую реальность с ее возможными иллюстрациями в некоторых природных явлениях. Когда я говорю о независимом существовании математической реальности, я ее абсолютно не локализую в физической реальности…11

Еще одно кардинальное изменение по сравнению с Декартом заключается в подходе платонистов к математической интуиции, так обычно называется способность схватывать абстрактные объекты12. Прежде всего, она способна приблизиться к основным элементам знания, значимым понятиям, целым структурам, к совсем не мелким и ограниченным истинам. С другой стороны, она не претендует на точность, ясность и четкость и предполагает (иногда) ненадежность и большую работу по доведению ее плодов до зрелого состояния.

Для некоторых специалистов силлогизм каузальной теории, рассмотренный выше, явился опровержением, правда, дешевым, платонизма, тем не менее, это умозаключение подверглось детальной мета-критике на философской площадке и, прежде всего, по поводу исходного пункта – каузальной теории познания13. Гёдель пошел другим путем. Он мужественно двинулся навстречу природе этой специфической способности, которая постулировалась или предполагалась необходимой14.

11J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., pp. 32–34.

12Ch. Parsons, Mathematical intuition, in Proceed. Aristotelian Society, 80, 1979–1980, pp. 145–168, перепечатано в The Philosophy of Mathematics, под ред. W.D. Hart, Oxford, Oxford Univ. Press, 1996, pp. 95–113.

13M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит., ch. 4.

14K. Gödel, What is Cantor’s continuum problem?, in Amer. Math. Monthly, 54, 1947, pp. 515–525, перепечатана с важными добавлениями в P. Benacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathematics, уже цит., pp. 258–273 и включена в K. Gödel, Collected Works, vol. II, уже цит., pp. 254–270; итал. перевод

Che cos’è il problema del continuo di Cantor?, in C. Cellucci, La filosofia della matematica, уже цит., pp. 113–136.

119