Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Платонизм

Но не в этом заключается роль интуиции для работающих математиков. Прежде всего, они мало интересуются аксиомами и, кроме этого, интуитивнопредчувствуютважныерезультаты – теоремы.

И тогда приходит сомнение. Почему только доказательства санкционируют теоремы?21 «Почему [натуральные числа] должны быть открыты познанию только посредством доказательства?22» Почему, собственно, доказательства?

Почему бы не должна существовать единственная познавательная способность – интуиция, естественно?

Если предполагать наличие и того, и другого, интуиции и доказательств, то, кажется, необходимо допустить, что некоторые факты, некоторые истины, будь то аксиомы или же результаты, уже установленные, которые являются отправными точками последующего анализа, узнаются непосредственно, в то время как другие требуют дополнительного инструмента. Непонятно однако, как распределить обязанности. Этот дополнительный инструмент вовсе не является некой подзорной трубой, совсем наоборот, поскольку логика не рассматривается, в целом, таким мощным инструментом, более могущественным, чем интуиция. Факты не располагаются от нас на разных дистанциях и не имеют различной природы. Мир существования является, скорее, однородным. Различаются, возможно, способы познания фактов.

Вырисовывается определенное, явно непризнаваемое различие между двумя формами доступа, из которых одна неизбежно высшая, привилегированная, а другая – низшая, подходящая для математиков мало креативных, или которая служит, прежде всего, для целей коммуникации. Налицо опасность элитарности, рецидивы которой случаются не только у отдельных индивидов, но даже у целых научных школ, как, например, у известной итальянской геометрической школы.

Если, с другой стороны, все обстоит не так, то чем является и для чего служит это медленное и непрямое продвижение, пред-

21Например, Пенроуз считает (ошибочно), что теорема Гёделя о неполноте доказана таким образом, который убеждает, что некоторые неопровержимые истины могут быть приобретены только благодаря особой способности, типично человеческой, а не алгоритмической.

22M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит.

125

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ставленное аргументирующими формами? Если вновь вернуться к такому любимому платонистами образу исследователя, в соответствии с которым23,

передвигаясь по территории математики, он познает понемногу очертания и невероятно богатую структуру математического мира,

можно подумать, что это какое-то путешествие, которое переносит нас в новые места. При этом в некоторых специальных местах, например, на опушке леса, из которого ничего не было видно, или на вершине с впечатляющим панорамным видом опять срабатывает интуиция. Можно было бы попробовать разработать подобную идею, поискав новое определение и новую функцию для логики, которые сочетались бы с интуицией, однако до сих пор это не было сделано платонистами, которые удовлетворяются лишь претенциозными описаниями с большими пробелами.

Гёдель высказывался очень осторожно, произнося лишь философски безукоризненные положения, однако платонисты в рабочие дни легкомысленно ссылаются на него и используют его авторитет, чтобы оправдать свою позицию и то, на что они тратят свою жизнь. Рассмотрим мнение одного платониста, который имеет подобные амбиции24.

Полная картина математической деятельности, предложенная платонизмом, представляется следующим образом. Математик в соответствии с этим видением сопоставляет себя с многообразием абстрактных структур, которые по своей сути предшествуют его математической активности. Он не создает эти структуры, а находит. В ходе своего обучения он все более, по причине развития своих способностей, формирует и совершенствует интуицию относительно этих структур. Выясняется, естественно, что он имеет более глубокую интуицию относительно одних структур и менее глубокую – относительно других. Его интуиция формируется посредством истин относительно математического мира, которые были открыты его предшественниками и его коллегами. Эта интуиция, в свою очередь, позволяет ему найти новые структуры и предложить новые гипотезы в отношении уже известных структур. Чтобы верифицировать эти гипотезы, он производит построения, излагает аргументы, определяет новые понятия. Поскольку эти построения выражены

23J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 34.

24N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит. Курсив Г. Лолли, чтобы подчеркнуть ключевые слова, обсуждаемые далее.

126

Платонизм

на математическом языке, который является частью обычного языка, то, следовательно, они опираются на выкладки и представляются формальными и строгими. Посредством этого они доносятся до научной общественности и становятся частью широчайшей социальной диалектики, через которую развивается математика.

В этой картине находим в компактной форме не все ответы, но все проблемы, не решенные платонизмом.

Острота проблемы природы математических объектов внешне снята и скрыта под социологической формулой признания некоторой имплицитной реальности в языке, унаследованном от сообщества, былого и настоящего. В то же время, подтверждается наличие интуиции относительно структур как источника знания.

Интуиция пробегает от одной гипотезы к другой. Гипотезы эти должны быть верифицированы. Все это politically correct, однако создает неловкость. Если необходима верификация, то получается, что интуиция сама по себе недостаточна, не является источником знания. Интуиция у Гёделя не требует подтверждения, она покоряет нас истиной своего содержания (самое большее, что имеется, это возможность верификации иного типа, о чем поговорим далее, которая, однако, представляетсобойальтернативуинтуиции).

Не уточняется, что служит верификацией, и почему она, как известно, выражается через доказательства, построения и определения, которые представляют собой в действительности то, что делает математик.

Единственной ролью для доказательства в приведенной картине могла бы быть следующая. Истины, интуитивно найденные или открытые предшественниками, не являются полностью между собою независимыми, наоборот, все они должны быть связаны между собой (вот почему математик доказывает все, с готовностью или без оной), и, следовательно, доказательство А следует из В, устанавливает частичное подтверждение одного в терминах другого. Однако это утверждение является весьма обязывающим и выходящим за рамки заявленных намерений. Оно, кроме заявления о том, что нельзя быть полностью уверенными в интуиции, постулирует некоторую логическую структуру необходимых связей разнообразных составляющих бытия. Добро пожаловать на метафизический бал!

127

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Что такое построения, математики знают хорошо, может быть, не в такой степени знакомо это философам. Однако построения, к сожалению, являются построениями математических объектов, и они конструируют вещи, которые раньше не существовали. К примеру, дано семейство структур и фильтр на множестве индексов, возможно построение производного семейства структур.

Вдействительности Гудмэн допускает, что находятся новые структуры, для того чтобы примирить несомненные новинки, периодически появляющиеся на математическом горизонте, с объективной реальностью, предполагаемой платонизмом. Однако нахождение структур отличается от их конструирования. Такое же замешательство возникает, если говорить об определениях. Дается определение производного семейства, сопровождаемое, чтобы показать, что оно не пустое, доказательством его существования на основе аксиом или посредством конструкции. Определения могут рассматриваться как креативные или только описательные. Если они описательные, то непонятно, для чего служит доказательство существования, однако вернемсякэтойтемеприобсуждениилогицизма.

Один из выходов из ситуации, связанной с этими затруднениями платонистов, касающимися очевидной активной и креативной

роли математика, был указан Конном с помощью разделения методов, или инструментов мышления, и объектов25:

Всвоем исследовании математической реальности математик создает

«инструменты мышления». Не нужно путать их с самой математической реальностью. К примеру, десятичная система представляет собой известный инструмент мышления, однако было бы неправильным придавать значение десятичным цифрам, которые представляют число.

Это разделение достаточно сомнительно и опасно для самого же платонизма. Прежде всего, получается, что основная часть математических идей помещается, таким образом, в непонятный сектор инструментов мышления. Граф является математическим объектом или инструментом мышления? В примере Конна, если разложение числа, которое стоит за его десятичным представлением, является лишь способом размышления о числах и не имеет мате-

25 J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 20.

128

Платонизм

матической реальности, то спрашивается, что же имеет реальность?

Конн честно допускает, что открываются сначала свойства объектов, которые не являются самими объектами. В этом он всего лишь уважительно относится к истории, которую нельзя игнорировать. К примеру, никто не может отрицать тот факт, что свойства, подобные логарифмам, и многие другие были сформулированы и использовались гораздо раньше, чем было дано определение самих действительных чисел в конце девятнадцатого столетия. Платонист может сказать, что именно эти свойства, аккумулируясь, приводят к открытию действительных чисел, но гораздо разумнее сказать, что приводят к их определению в смысле конструирования. Пока действительных чисел не было, трудно понять, как математикплатонист мог заявить, что он интуитивно нашел свойства объектов, о которых не знает, что они из себя представляют, свойства подвешенные, без опоры, и, даже, не очень согласованные между собой – достаточно подумать о вещественных числах с бесконечно малыми или без оных. Какое значение в течение всего указанного длинного промежутка времени имела истина, если не было объектов, на которые ссылается реализм истинностных значений?

Нельзя сказать, что неплатонист не имеет своих собственных трудностей при историческом и рациональном объяснении какоголибо феномена, похожего на рассмотренную выше ситуацию с вещественными числами. Однако если определение математического объекта состоит именно из собрания и выбора свойств, считающихся существенными, то не удивительно, что изучение этих свойств (конечно, гипотетическим и ненадежным образом) проис-

ходило ранее. Возражение Конну приходит на ум даже неспециалисту26:

Мне кажется, что ты не различаешь достаточным образом математические объекты сами по себе от их свойств. Эти объекты представляют собой «новые конструкции», которые математик создает раньше, чем изучит все свойства. Вначале они являются «предположениями», «постулатами», кото-

26 J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, уже цит., p. 23.

129