Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Платонизм

рые существовали до того, как они начали свои исследования. Они наблюдают их подобно восходу солнца. Именно так. Таким же образом, с той же самой ясностью и впечатлением необходимости люди наблюдали, и до сих пор наблюдают, как солнце восходит, перемещается с востока на запад и заходит. Субъективное восприятие наблюдения чего-либо абсолютно не является гарантией наличия смысла в заявлении, что то, что наблюдается, является истинным или существует.

Платонисты не видят, однако, другие очень человеческие вещи и вступают в противоречие на всех фронтах с принципом объективности. Было уже отмечено, что они не видят (хорошо) доказательства. Далее, не видят, что их заявления имеют пагубные последствия на преподавание. Не соответствует истине то, что люди изучают математику, созерцая структуры, которые объективно попадают в их поле зрения. Те, кто утверждает, что математики умозрительно рассматривают структуры, существовавшие и до того, как их начали исследовать, просто забыли свой первый урок математики и нелегкое освоение этой науки. Без какого-либо образования и подсказки ни один ребенок, никто, рассматривая треугольник, не увидит в нем медианы. Почему нужно соединять вершину с серединойпротиволежащейстороны? Утого жеПлатона, несмотрянаего теорию анамнеза – реминисценции – для познания Идей, был необходим какой-то стимул или подсказка для активирования анамнеза у раба. Непонятно, почему необходима подсказка, если и правда математические объекты существуют и доступны какой-то человеческой способности, кроме памяти. В действительности никто не видит медианы, если только не имеет некоторой проблемы, которая подталкивает его к размышлению о подобной возможности. Представления платонистов призрачны и ложны.

Если бы затем заявлялось, что медианы все-таки там есть, даже если нет никакой проблемы или интереса, которые бы стимулировали нас увидеть их, то нужно поразмышлять над фактом, что линий, кроме медиан, кроме биссектрис, бесконечно много. Если все их нанести, заполнится вся плоскость, которая почернеет и опять не будет видно ничего. Где же тогда прячется эта реальность, когда не предстает перед глазами?

135

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Кроме рассуждений о том, как можно видеть, необходимо объяснить, как можно не видеть.

Та же самая ситуация с прямыми на плоскости справедлива и для теорем. Если захочется сформулировать их все, то они заполнят не только библиотеки, но и все время, и все пространство вселенной. Именно математик делает выбор, доказывая те, которые считает важными, однако критерии выбора могут быть альтернативными в зависимости от видения бытия.

Одним из возможных критериев может быть организационная роль теорем в некоторой теории, их продуктивность в смысле следствий и богатства связей. Паскаль заявлял о выводе более чем четырехсот следствий из своей теоремы о гексаграмме. Это, в частности, включает теорему Паппа, но только на основе теории, которая позволяет рассматривать две прямые линии как вырожденный частный случай кривой второго порядка.

Ранее уже отмечалось некоторое пренебрежение к роли языка. Посредством «языка» понимаются имеющиеся знания, более или менее организованные в теории. Так, к примеру, один человек может видеть корень в х2 = 2, а другой – нет. Различие объясняется только различиями в их языке. Бесконечно малые рассматривались долгое время как консистентные сущности, а не только как метод, как, возможно, сказал бы Конн. Они рассеялись, как флогистон, когда теория архимедовых вещественных чисел позволила обходиться без них. Они воскресли, возможно (было бы интересно знать мнение платонистов по этому поводу), когда новая теория дала доказательство их существования в рамках своего последовательного видения.

Другие критерии – эстетические, и они понимаемы, однако в смысле элегантности теории, а не в смысле описания объективной красоты. Слово «элегантность» обычно используется в отношении доказательств. Утверждения, что более важными являются только те теоремы, которые «видятся», а не те, которые до того, как они станут видимыми, выводятся, представляются сомнительными. Вывод и видение часто происходят одновременно31.

31 G. Lolli, Visione e logica nella dimostrazione, in «Lettera Matematica Pristem», 1995, n. 18, dossier pp. X–XX.

136

Платонизм

Платонисты не замечают также событий в социальном мире. Например, они гордятся тем, что это самая распространенная философия математики, однако имеются некоторые сомнения на этот счет. Никто не проводил статистических исследований по этому поводу. Возможно, это справедливо для математиков, которые высказывали свое мнение, но большинство не высказывалось. Может быть, именно так обстоят дела среди людей, занимающихся чистой абстрактной математикой, однако трудно предположить, что математик, изучающий алгоритмы, был бы платонистом. Предположим, чтобы объяснить эту идею, что он или она ищет алгоритм эффективной аппроксимации корней х2 = 2. Для него совсем не важно знать, существует ли корень из 2 и что он из себя представляет, а важно только, что существуют уже методы приближенных вычислений отношения между диагональю и стороной квадрата и что он хочет их усовершенствовать в смысле скорости приближения. Ему совсем не интересно знать, что представляют собой, в общем, действительные числа, за исключением того, что алгоритмы должны генерировать последовательности рациональных чисел, последовательности, внутренне сходящиеся, и что кто-то их идентифицирует с последовательностями рациональных чисел (их классами эквивалентности). Специалист по численному анализу может верить только в рациональные числа, поскольку видит только их.

Если создатель алгоритмов захотел бы стать платонистом, то должен был бы заявить, что предписанный им процесс существует как абстрактная сущность и что алгоритмы, в целом, существуют как абстрактные сущности. Но алгоритмы не являются ни функцией, вычисляемой с их помощью, ни текстом программы. Наилучший способ представить их – сказать, что они являются процессами, управляемыми стратегиями. Мир должен быть населен не только множествами, но и процессами? Получается, что платонист должен быть большим плюралистом и сражаться за важность и признание того расширения реальности, которое обусловлено этими новыми сущностями. При этом встает вопрос: процесс – это бытие или становление?

137

Философия математики: наследие двадцатого столетия

С другой стороны, В. Тейт (William Tait) утверждает, что платоновский мир населен также доказательствами32. Открыв однажды дорогу высказываниям о существовании, практически невозможно ограничить движение в этом направлении.

Те, кто заявляет, что видит математическую реальность, находятся чаще всего среди творческих математиков, работающих в традиционных областях алгебры, геометрии, теории чисел. Они рассказывают о замечательных актах интуитивного прозрения у себя и у своих гениальных коллег, однако на поверку их результаты оказываются скорее актами творчества, а не открытия. Открыть что-либо может случайно любой исследователь и вообще кто угодно. В математике же случайные открытия, в отличие от естественных наук, не происходят никогда. Это различие никогда не отмечалось теми, кто ищет аналогии между объектами или методами математики и естествознания. Устная традиция присваивает разным математикам заявления о том, что когда они разрабатывают новую математику, то переживают это как изобретательство, а когда знакомятся с результатами других, ощущают, что все проистекает от естественной необходимости33. Однако, говоря таким образом, оказывают плохую услугу математикам, поскольку математика представляется достоянием высших или привилегированных существ. Истинная работа нормальных математиков требует в своей нормальности очень большого труда и, в то же время, она богата необычайными и чарующими выводами.

Чем гениальнее математики, тем более похожи они в некоторых аспектах на тех чудесных людей, которые способны делать в уме сложнейшие вычисления, на тех настоящих, которые, вообще говоря, страдали аутизмом, а не на тех, кто на основе исключительной памяти разработал подходящие методы и алгоритмы. Они не двигаются вперед прерывистыми шагами, не делают расчетов. Их посещает озарение. Они видят знаки и образы, которые не могут описать словами. Вообще, в том числе и у нормальных людей,

32 W.W. Tait, Truth and proof: the platonism of mathematics (1986), in W.D. Hart, The philosophy of mathematics, уже цит., pp. 142–167.

33 Увидим дальше заявление отличающееся, но аналогичное, от Р. Хэмминга (Richard Hamming).

138

Платонизм

математические способности сочетаются с прекрасным пространственным воображением. Гении-аутисты доводят до предела и это качество. Их мышление, в частности, образное, они видят числа, и каждое число персонализировано. Эти числа не представляются точками на прямой, а распределены на линии, которая разворачивается в цвете завитками и изгибами. Чем не пейзаж? Каждое число представляется системой связей, и почти всегда видно, что оно состоит из блоков, которые представляют собой его простые делители (даже если субъект не знает их определения).

Многое открывается в нейропсихологических исследованиях34. Платонисты хотели бы найти в них подтверждение своему описанию математического открытия как видения и посещения некоторого пейзажа, но нейрофизиологические наблюдения ведут в другую сторону. Они не оставляют никакой роли ни для теоре- тико-множественной редукции, ни для размещения числа в какомлибо ином измерении реальности. Они служат, прежде всего, для осознания того, что понятие числа является врожденным и не зависит от слова, и что нейрофизиологический механизм этого понятия в определенной степени однотипен такому же механизму у животных, которые не имеют языка. Это замечание имеет большую важность, но не является аргументом в пользу платонизма. Напротив, оно лишь указывает, что мозг способен производить на базе аналогий ответы, необходимые для элементарной математической активности. Ничего не говорится по поводу фундаментальной связи с языком, которой нет, по крайней мере, нет у животных, и это не проблема зверей, а проблема людей.

Мозг способен производить то, что не дает покоя философам еще больше, чем математические объекты, а именно – сознание. Аналогия между этими двумя феноменами весьма близкая. В обоих случаях нейрофизиологические исследования на данный момент лишь выявляют, каким образом, как в случае числовых манипуляций, так и в случае определенного состояния сознания или

34 См. S. Dehaene, The Number Sense, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997; итал. перевод Il pallino della matematica, Milano, Mondadori, 2000; см. в осо-

бенности гл. 6 и обзор G. Lolli, La mente, il cervello, la matematica, in Bolletino UMI, 3-A, 2000, n. 2, pp. 1–26.

139