Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Феноменология

однако становятся таковыми в ходе развития математики. Например, чтобы понять только первую аксиому бесконечности, необходимо сначаларазработать до определенногоуровня теорию множеств.

Дж.-К. Рота не думал о множествах, когда говорил о математике. Он сделал значительный вклад в финитные геометрии и дискретную математику. Рота написал мало о Гуссерле, ограничиваясь попытками прояснить(невсмыслеопределений, поскольку вфилософиинесуществует канонов определений) некоторые термины феноменологии, которые могли бы иметь отношение к основаниям математики. Он жесткокритиковалфилософовзавольноеобращениесэтойнаукой.

Один из этих терминов – Fundierung7 – имеет большое значение в Третьем Логическом исследовании Гуссерля8. Рота предлагает несколько иллюстративных примеров этого термина. Один пример касается отношения между прочитанным текстом и его смыслом. Понимание смысла текста зависит от процесса его чтения, но следующий за чтением «выход в мир деятельности» будет определяться не самим текстом, а его смыслом. Тревожная перспектива для сторонников фактической науки, поскольку она отмечает онтологический приоритет смысла по отношению к тексту. Нет уверенности, что Рота это проделывал, но было бы интересно применить эту идею к текстам доказательств.

Другой пример показывает, что отношение Fundierung существует между функцией игральной карты в различных играх и игральной картой в физическом смысле. Третий пример, очень близкий, – отношение между «видеть» и «смотреть». Процесс распознавания образов (англ. pattern recognition) кажется несовместимым с любыми физиологическими объяснениями. Эта трудность драматически ощущается в науке об искусственном интеллекте, создание которого Рота считал практически обреченным, именно из-за неустановленных и неустраненных трудностей такого типа. Во всех рассмотренных случаях выявляется функция, которая не является ни существующей, ни несуществующей, а просто заложенной в основание. Только эта функция значима, в то время как фактическая действительность (физическая основа) лишь постоянно

7Фундирование, закладка фундамента, основания (нем. – прим. переводчика).

8E. Husserl, Logische Untersuchungen, Halle, M. Niemeyer, 1922; итал. перевод Ricerche logiche, под ред. G. Piana, Milano, Il Saggiatore, 1988.

145

Философия математики: наследие двадцатого столетия

способствует функции стать значимой. История западной философии отмечена попытками сведения отношения Fundierung к чемулибо, что удовлетворило бы потребность в некоем удостоверении существования. Трудно представить, что нематериальные функции были бы важнее физических объектов или нейронов головного мозга, однако это происходит лишь потому, что мы идентифицируем реальность с материальностью. Теория множеств предоставила мощный редукционистский инструмент, который, однако, не оправдывает ожиданий в случаях, подобных рассмотренным.

Рота подчеркивает, что для Гуссерля существование является существованием формальным, поскольку оно отлично от материального. Термин «формальный» у Гуссерля достаточно близок к тому, что понимается обычно под «объективный, но не вещественный». По мнению Сартра, чувство освобождения, которое возникает благодаря феноменологии, состоит в том, что «познание и восприятие не должны более рассматриваться как нечто, подобное проглатыванию пищи»9. Естественно, использование термина «формальный» не означает, что мы вторгаемся на территорию формальной логики, которая, наоборот, подпадает под материальный и редукционистский грех теории множеств. В действительности, Гуссерль не только предвещал, но и занимался реформой логики. Он предлагал некоторые связки, которые математическая логика игнорировала, и проверял их формализацию: временные соотношения, «А отсутствует в В», «А уже присутствует в В», «А предваряет В», «А есть перспектива В»10.

Этот путь ведет к разработке генетической феноменологии, ориентированной на конструирование, а не на разборку идеальных объектов, включая математические, которые подчиняются эйдетическим законам и описаниям, ожидающим еще своего открытия. Эйдетические описания представляют собой перспективные видения. Только подвергая объект эйдетическим вариациям, можно проявить его сущность. Эта тема также, как мы уже видели, была вновь предложена Гёделем.

9Цитировано из G.-C. Rota, Pensieri discreti, уже цит., p. 108. Фраза взя-

та из J.-P. Sartre, Che cos’è la letteratura, Milano, Il Saggiatore, 1963.

10G.-C. Rota, Pensieri discreti, ужецит., cap. 13, Husserl e la riforma della logica.

146

Натурализм

5.НАТУРАЛИЗМ

Вразмышлениях Гёделя находят точки опоры и ценные указания не только рассмотренные платонизм и феноменология, но и еще одно направление философии математики.

При обсуждении новых аксиом теории множеств Гёдель отмечал1:

Ранее уже отмечалось, что, кроме математической интуиции, существует еще один критерий (хотя, только вероятный) истинности математических аксиом, а именно, их полезность в математике и, стоит возможно добавить, также и в физике. Этот критерий, однако, хотя и может стать в будущем решающим, не может еще непосредственно применяться к теоретикомножественным аксиомам (к тем, например, которые относятся к большим кардиналам), поскольку практически ничего не известно по поводу их значения для других разделов. Самый простой случай применения обсуждаемого критерия – когда некоторая аксиома теории множеств имеет численные следствия, проверяемые вычислением для любого данного целого числа. На основе того, однако, что известно сегодня, невозможно двигаться в этом направлении, чтобы обосновать с достаточной степенью вероятности истинность любой новой аксиомы теории множеств.

П. Мэдди попыталась разработать натуралистическую философию, опираясь на это замечание Гёделя.

Рассматривается теория множеств с ее проблемами, относящимися к основаниям математики, которые тянутся от аксиомы выбора к непредикативным определениям и к новым аксиомам бесконечности2. Они, по мнению Мэдди3,

1K. Gödel, What is Cantor’s continuum problem?, уже цит.; отрывок явля-

ется непосредственным продолжением вышеприведенной цитаты, с. 120.

2По истории теории множеств см. G. Lolli, Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, уже цит. и Dagli insiemi ai numeri, уже цит., P. I;

непредикативные определения обсуждаются ниже, в разделе логицизма.

3P. Maddy, How to be a naturalist about mathematics, уже цит. Смотри также P. Maddy, Naturalism in Mathematics, Oxford, Clarendon Press, 1997.

147

Философия математики: наследие двадцатого столетия

являются сегодня признанными инструментами современной математической практики, в то время как философские аспекты, относящиеся к ним, остаются дискуссионными. Кажется, что философское заключение мотивируется не присущей этой науке аргументацией, а соображениями по поводу того, что можно было бы назвать, ввиду отсутствия лучшего термина, математической полезностью…

Как мы должны реагировать на подобную ситуацию? Можно настаивать на том, что математическое сообщество слишком поспешно и без философской поддержки приняло на вооружение эти спорные методы. Мое предложение представляет собой полностью противоположную позицию: принимаем как данное то, что эти методы признаны, что означает, что их принятие не должно зависеть от философии. Математический натурализм, как я его понимаю, есть не что иное, как обобщение этого вывода, то есть математическая методология может корректно оцениваться или критиковаться только на математической основе, а не на философской (или какой-либо другой нематематической основе). Специфические примеры математической полезности, которые играли решающую роль в дискуссиях по поводу непредикативности и аксиомы выбора, являются примерами того, что я подразумеваю, когда говорю о «математической основе».

Мэдди описывает натурализм как «метафилософский принцип, который устанавливает корректные отношения между философией и методологией, между философским теоретизированием по поводу некоторой деятельности и методологическими решениями относительно того, как эта деятельность должна бы производиться». Натурализм обязан своим происхождением логику и философу У. Куайну: «Натурализм… рассматривает естественную науку как исследование реальности, которое может быть подвержено ошибкам, может корректироваться, но не должно давать отчет никакому высшему суду и не нуждается в других обоснованиях, кроме наблюдения и гипотетико-дедуктивного метода»4.

В истории философии периодически делаются заявления о том, что ей больше нечего сказать. Это такой способ оставить за собой последнее философское слово. Подобное заявление имело место при обосновании неопозитивизма Витгенштейном и Карнапом. Натурализм принадлежит этому апокалипсическому

4 W.O. Quine, Five milestones of empiricism (1975), in Theories and Things, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1981, pp. 62–72.

148

Натурализм

крылу, но, несмотря на это, широко распространен в философских кругах (и, конечно, обсуждаем5, поскольку подпитывает философию методом «перекрестного самодопроса»), по крайней мере, как предостережение философии в отношении ее претензий по поводу контроля над науками. Существуют, как минимум, две версии натурализма: слабая и сильная. Слабая версия состоит в том, что некоторый специфический раздел философских исследований (к примеру, философия разума) становится методологией научных дисциплин, заинтересованных в этом разделе (к примеру, когнитивные науки). С точки зрения сильной версии, традиционные темы философских исследований полностью абсорбированы «настоящими» науками, которые их и рассматривают.

Натурализм Мэдди, однако, отличается по духу от исходного подхода Куайна по нескольким позициям. Прежде всего, изложение Мэдди плавно переходит от научного метода, к которому обращается Куайн, к прагматическим интересам математиков. Отметим и то, что Мэдди часто заявляет о намерении ссылаться на науку, однако также часто ссылается на математическое сообщество. Она говорит и о желании выявить рациональность, лежащую в основании практики. Подобная рациональность кажется лишь некоторым обоснованием a posteriori, которое выдает сделанный прежде выбор за достойный результат.

Мэдди много внимания уделяет рассмотрению случая аксиомы конструируемости V=L. Эта аксиома была сформулирована Гёделем вместе с внутренней моделью теории множеств, обогащенной данной аксиомой. В этой модели имеют силу аксиома выбора, континуумгипотеза и другие высказывания, неразрешимые иным образом. Аксиома утверждает, что универсум соответствует этой модели L. В L иерархия множеств содержит не все возможные множества, а только те, которые определяются в предикативной манере по цепочке итераций (теоретико-множественные модели структурированы как иерархии, которые опираются на последовательность трансфинитных ординалов). Мэдди относит гипотезу принятия такой аксиомы к тради-

5Introduzione al naturalismo filosofico contemporaneo, под ред. E. Agazzi, N. Vassallo, Milano, Angeli, 1998.

149