Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Натурализм

чительного вклада, который делает в холистскую систему науки. Разделы математики, которые не играют роли, даже косвенной, в процессе получения выводного знания тех областей сети, которые соприкасаются с опытом, не имеют ни значения, ни смысла. Разделы же, которые эту роль играют, принимаются, и объекты, о которых говорят, существуют.

Принцип обязательности11 достаточно ясный и четкий. Раз нельзя заниматься наукой без действительных чисел, следовательно, они существуют. Термин «существование» имеет недифференцированное значение. Тела, электроны, числа – все они существуют одним и тем же образом, существуют в научном смысле. Математика верна, но верна та математика, которая используется в науке, и верна именно по этой причине, а не потому, как она разработана или что утверждает.

Последовательный натуралист не подвергает анализу понятия существования или необходимости и не превращает в проблему применимость математики. Она является фактом, более того, решающим критерием ее принятия. Последовательный натуралист не дает также методологических указаний математике. Если делает онтологическое заявление, то только для того, чтобы признать существование абстрактных понятий, которые необходимы, и строго применить бритву Оккама для прочих. Но такое высказывание не имеет эффекта и не может его иметь. Куайн сознает, что некоторые абстрактные разделы математики необходимы для улучшения теории, ее углубления и упрощения, в определенном смысле, и, кажется, готов принять их. Высказывается даже по поводу аксиомы конструируемости, что она могла бы быть принята, поскольку упрощает и, следовательно, вероятно, улучшает применимость Анализа и теории множеств.

Подобное указание, кажется, продиктовано общей верой в способность математиков оценивать и контролировать конструкцию своих теорий, однако противоречит, как было видно, позиции другого натурализма, предлагающего пролагать путь посредством выборов цехового математического сообщества. Если этот натура-

11 H. Putnam, Philosophy of Logic, New York, Harper Torchbooks, 1971. По поводу принципа обязательности смотри специальный выпуск журнала

Philosophia Mathematica, 5, 1997, n. 3, посвященный этой теме.

155

Философия математики: наследие двадцатого столетия

лизм понимается как некоторая данная ему концессия, то все равно есть определенная неувязка. Действительно, критерий, используемый математиками и санкционированный Мэдди в отношении оценки эффективности или приемлемости новой математики, не соответствует критерию полезности в науке и, прежде всего, в ее удаленных оконечных разделах, которые соприкасаются с миром. В этом Мэдди неверна также и Гёделю, который в качестве критерия полезности для новых аксиом, «буде появляшися», указывал также физику. Развитие математики имеет обособленный характер, она не вкладывается как часть в глобальную холистскую науку.

Речь идет не только о методологических выборах, но также о принятии отдельных результатов и их встраивании в структуру математики, которое отвечает специфическим критериям, отличающимся от используемых в других научных дисциплинах. Практика проверки утверждений в математике особенная, этот разрыв всегда ощущается очень остро, вплоть до поднятия вопроса, является ли математика наукой, или нет. Эта констатация играет против холизма и выступает за автономность математики.

Математика, возможно, требует холистского подхода к себе самой, но не точно такого, как в отношении всех других наук. Глобальный холизм, напротив, встраивает лишь часть математики в сеть наук и при этом навязывает ей критерии, отличающиеся от ее собственных. Холизм, даже учитывая большую или меньшую удаленность узлов сети от контакта с миром, не может избежать, пусть и минимальной, дозы эмпиризма в отношении всех отделов науки. В действительности эмпиризм представляет собой одну из возможных философских позиций (как увидим в дальнейшем, она тоже имеет свои проблемы), которая однако не идентифицируется с натурализмом.

Ответы натуралистов-холистов на эти замечания по поводу математики представляются весьма слабыми. С одной стороны, они вновь отправляют к далеким историческим первопричинам, укоренившимся в человеческой практике, в некоторых базовых дисциплинах типа геометрии и арифметики. С другой стороны, твердят, что, используя критерии внутренние, далекие от экспери-

156

Натурализм

мента, которые не сопоставляются с критериями других наук, математики делают доброе дело для всей науки, способствуя ее прогрессу, и, следовательно, вполне приемлемы в своей кажущейся автономности12.

Мэдди, кстати, экспериментировала с различными формами натурализма помимо того, который обсуждался. Вначале дошла даже до того, что применяла принцип обязательности для обоснования реализма, используя аргумент, что объективное существование абстрактных сущностей есть неотъемлемая часть наилучшего объяснения мира, которое мы имеем, посредством холистской сети Куайна и роли, которую там играет вся математика13. Обоснование платонизма означает все же предоставление места математической интуиции, которая с другой стороны критикуется как раз с одной из натуралистических точек зрения в гносеологической плоскости. Мэдди пыталась аргументировать, что математическая интуиция не является лишь аналогом чувственной интуиции, как полагал Гёдель, а представляет собой настоящую перцептивную способность (восприятие множеств среднего размера, состоящих из физических объектов), основание которой может быть выявлено в мозге14. Как нейрофизиолог Д. Хебб (D.O. Hebb) говорил о группах клеток, которые формируются в процессе детского развития и позволяют осуществлять перцепцию физических объектов15, так и Мэдди высказала гипотезу о том, что формируются группы клеток, которые распознают и различают наборы физических объектов. Сведение математической интуиции к восприятию конкретных маленьких множеств представляется, однако, возвратом к Аристотелю и к его концепции числа.

12M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит.

13P. Maddy, Realism in Mathematics, Oxford, Oxford Univ. Press, 1990.

14P. Maddy, Perception and mathematical intuition, in The Philosophical Review, 89, 1980, pp. 163–196, перепечатано в W.D. Hart, The Philosophy of Mathematics, уже цит., pp. 114–141.

15D.O. Hebb, The Organization of Behavior: A Neuropsychological Approach, New York, Wiley, 1949; итал. перевод L’organizzazione del comportamento. Una teoria neuropsicologica, Milano, Angeli, 1975.

157

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Существуют и другие подходы, использующие термин «натурализм», который является весьма привлекательным, поскольку звучит «политически корректно». Один из них, к примеру, разработан Ф. Китчером (Philip Kitcher)16. Этот подход назван так автором, но натурализм там, собственно, минималистский, который можно резюмировать в двух тезисах: каждый момент развития математики зависит только от математики уже существующей, а не от эпистемологических ограничений и выборов; математика организуется посредством гипотетико-дедуктивного метода, пытаясь найти аксиомы, которые бы объединили и объяснили результаты известные, но связанные нечетким образом или недостаточно общие. Математика, которая может быть включена в подобные рамки, выглядит достаточно ограниченной. Конечно, математики каждого поколения посвящают себя решению проблем, оставленных им предшественниками и учителями, но, в целом, проблемы не решаются только лишь обобщением с использованием гипоте- тико-дедуктивного метода, наоборот, так бывает редко, и чаще они решаются благодаря изобретению новых инструментов и идей. В рассмотренной же картине не видно места для инноваций, которые так часто обогащают концептуальный арсенал математики.

16 Ph. Kitcher, Mathematical naturalism, in History and Philosophy of Modern Mathematics, под ред. W. Aspray, Ph. Kitcher, Minneapolis, University of Minnesota Press, 1988, pp. 293–325.

158

Логицизм

6. ЛОГИЦИЗМ

Если попытаться найти философию, основной заботой которой была бы не онтология, нужно вспомнить о логицизме. Он утверждает, что математические истины являются объективными, так как математические объекты являются логически определенными и представляют собой понятия. Также и для феноменологии подобные сущности являются понятиями, но наше видение их, с точки зрения феноменологии, всегда остается частичным, тогда как логицизм полагает, что посредством логики мы имеем полный контроль над ними.

Логика логицизма не соответствует дедуктивной логике, которая играет главную роль в других философиях. Из двух фундаментальных моментов математики, которыми являются определение и доказательство, именно на первом концентрирует свое внимание логицизм, хотя Фреге изобрел свою «идеографию»1 именно для получения максимального контроля над дедуктивной деятельностью, исключая проникновение любой формы интуиции или неопределенных конструкций (и с той же самой целью работали другие создатели символической логики, например, Дж. Пеано).

Что означает объективный статус понятий, не сразу очевидно. «Объективный» противопоставляется «субъективному» и, одновременно, указывает на нечто нематериальное. Но когда Фреге должен был приводить примеры объективного идеального существования, то он указывал на линию экватора или полярную ось, то есть возвращался к математическим сущностям.

1G. Frege, Begriffsschrift, Halle, Nebert, 1879; итал. перевод Ideografia, in G. Frege, Logica e aritmetica, под ред. C. Mangione, Torino, Boringhieri, 1965, pp. 103–206; в источниках на русском языке встречаются разные варианты перевода названия этой работы: Исчисление понятий, Запись в понятиях. Эти варианты перевода представляются не совсем точными, поскольку дословный перевод дает версию Запись понятий (идей). В связи с этим и предлагается перевод Идеография, следующий переводу на итальянский – прим. переводчика.

159