Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

математических теориях, существуют; 2) теории, которые их рассматривают, являются (в целом) верными; 3) их истинность независима от нашего познания и, в случае их знания, от нашего способа их познания. Однако эти три особенности можно встретить порознь – в философии никто не может отдавать приказы или, другими словами, никто их не исполняет.

Простой реалист является реалистом не только в онтологическом плане, но также и в плане того, что касается значений истины. Последователь гиперплатонизма является онтологическим реалистом. Он признает реальность понятий, но не истинность математических суждений, поскольку допускает только истины относительно структур. Рядом с онтологическим реализмом обнаруживается, следовательно, гносеологический или логический реализм, что представляет собой не что иное, как признание аристотелевского принципа двузначности для каждого утверждения.

Одно из определений реализма значений истины, которое, кажется, предложено М. Даммитом (Michael Dummett), следующее13:

Реалист (по отношению к теории или к какому-то типу изложения) утверждает, что 1) высказывания теории или изложения являются истинными или ложными и 2) что все то, что их делает истинными или ложными, является чем-то внешним, то есть, в целом, речь не идет о наших сенсорных характеристиках, реальных или потенциальных, или о структуре нашего ума, или о нашем языке и так далее. Это внешнее должно, конечно, быть реальным, но не обязательно представлено сущностями, к которым высказывания относились бы (это потребовало бы наличия предварительной теории значения). Этим внешним могла бы быть любая вещь, например, общество. На основе такой формулировки можно быть реалистами по отношению к математической теме без принятия на себя обязательств по поводу существования «математических объектов».

Трудно представить, откуда могла бы прийти идея подобной формы реализма, если не из размышлений над математикой.

13 Цит. в H. Putnam, What is mathematical Truth, in Philosophical Papers, 2 voll., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1975, перепечатано в T. Tymoczko,

New Directions, уже цит., p. 57; итал. перевод Che cosa è la verità matematica, in H. Putnam, Matematica, materia e metodo, Milano, Adelphi, 1993, pp. 80–98.

110

Реализм

Прежде чем излагать ее, необходимо признать основную совокупность утверждений, которые считались бы истинными.

Реализм без объектов может быть узнан в логицизме. Для Г. Фреге числа были концепциями. Основной вопрос не был вопросом об объектах, но об объективности математики, противопоставленным вопросу о существовании объектов или их существовании, достоверном в наших умах, как индивидуальных, так и разуме коллективном, или трансцендентальном. Для того чтобы утверждать, что концепции являются внешними, достаточно отвергнуть понятие разума (и сказать, что объекты существуют). С точки зрения Даммита, Канта нельзя считать реалистом, но, вероятно, можно рассматривать реалистом гносеологическим.

Признав математические понятия как концепции, необходимо пояснить, каким образом возможно принять их в качестве объекта изучения и что будет ключиком, дающим эпистемологический доступ к их изучению. Для Фреге – это логика, одинаково объективная и не относящаяся к уму, однако не очевидно, что в этом случае не остается вопросов. Является ли изучение концепций эквивалентом их корректного использования? Или же, возможно ли производить нелогичные, ошибочные, к примеру, рассуждения над концепциями? Тогда нужна способность доступа, которая, поскольку другого не видно, имела бы отношение к уму, ранее исключенному из рассмотрения. Это проблемы, которые можно будет рассматривать при обсуждении логицизма.

Реализм значений истины сам по себе или в связке с онтологическим реализмом поднимает один любопытный вопрос, который является по характеру логическим, но еще скорее психологическим, относящимся к факту, что сам по себе этот вопрос не должен быть поставлен. Речь идет о теореме Тарского о невыразимости истины. В свете этой теоремы рассуждения о математических истинах неизбежно обречены на беспредметность, если язык неформальный, или же на неопределенную отсылку к строгим метаязыкам, все более сомнительным. Непонятно, почему столько шума было поднято кстати (и некстати) по поводу теоремы Гёделя, в

111

Философия математики: наследие двадцатого столетия

то время как теорему Тарского лишь вскользь упоминают, хотя она гораздо более показательна и значительна для философии14.

Нельзя сказать, что не были потрачены реки чернил на эту тему15, если говорить о всевозможных вариантах обхода ее последствий, чтобы не признавать, что философия может обсуждать как одну из своих главных тем понятие (истины), которое не может быть определено, и использовать его в основах философии математики. Однако простое и жесткое следствие теоремы Тарского заключается в том, что для определения истины математических утверждений в мире множеств (или математики) необходима теория, в которой такой универсум был бы объектом, то есть теория, которая доказала бы непротиворечивость существующей математики. Можно пойти вперед по этому пути, но неизвестно, к чему все это приведет. В качестве альтернативы определению истины можно давать определения локальных истин для отдельных теорий, используемые гиперплатонизмом для подтверждения существования моделей. Подобные локальные понятия истины играют, однако, роль почти излишнюю. Рассмотрим далее применение этой возможности Резником для одной формы реализма естественного, наивного и, именно, излишнего.

Каждый реалист должен повесить перед своим рабочим местом табличку с надписью Memento Tarski16.

14Некоторое объяснение может содержаться в расхожей, обыденной формулировке теоремы Гёделя, которая переоценивает и оказывает предпочтение истине по отношению к доказуемости.

15По некоторым аспектам рассмотренных дискуссий, значимым для ма-

тематики, см. M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., cap. 2.

16 Шутка, апеллирующая к крылатому выражению Memento mori – помни о смерти (лат. – прим. переводчика).

112

Платонизм

3. ПЛАТОНИЗМ

Платонизм представляет собой форму математического онтологического реализма, которую, по словам его последователей, поддерживает большинство современных математиков1. Среди ведущих математиков нашего времени, которые являются сторонниками платонизма, можно отметить Р. Пенроуза (Roger Penrose) и

А. Конна (Alain Connes)2.

Казалось бы, это течение известно и изучено, достаточно дать ссылку на Платона и все, но не все так однозначно. Существуют различные формы этого направления: простой и гиперплатонизм, платонизм монистический и плюралистический.

В отношении математической онтологии термин стал использоваться сравнительно недавно, в первой половине двадцатого века3, однако четкая формулировка позиции платонизма была дана ранее, в конце девятнадцатого столетия4:

Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным продуктом нашего ума. Думаю, что они существуют вне нас, обладая характером необходимости, присущим объективной реальности, и что мы встречаем их, открываем их и изучаем их, как это делают физики, химики и зоологи.

1По крайней мере, среди творческих. Предыдущая цитата по поводу подхода Бурбаки в отношении оснований была перефразирована Дьедонне (устный вариант) в крылатую фразу, что математики – платонисты в рабочие дни и формалисты по выходным, когда ходят в церковь.

2R. Penrose, The Emperor’s New Mind, Oxford, Oxford Univ. Press, 1989;

итал. перевод La nuova mente dell’imperatore, Milano, Adelphi, 1990 и Shadows of the Mind, Oxford, Oxford Univ. Press, 1994; итал. перевод Ombre sulla mente, Milano, Mondadori, 1998; J.-P. Changeux, A. Connes, Matière à penser, Paris, Odile Jacob, 1989; итал. перевод Materia e pensiero, Torino, Bollati Boringhieri, 1991.

3Кажется, что был предложен в Paul Bernays, Sur le Platonism dans les mathématiques, in «L’Enseignement Mathématique», 34, 1935–1936, pp. 52–69.

4Ch. Hermite (1894) in Corréspondance d’Hermite et Stieltjes, Paris, Gauthier-Villars, 1905, t. II, p. 398.

113

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Аналогичную ссылку на объекты изучения естественных наук сделал современный философ5:

Рассмотрение математики как некоторой науки уже подразумевает, что натуральные числа, объекты изучения этой науки, являются объектами в том же самом смысле, в котором и молекулы являются объектами.

Есть чему удивиться в этом поверхностном сравнении. Объекты естественных наук, в том числе и упомянутые молекулы, появляются и пропадают. Не думается, что, приписывая математическим объектам те же самые свойства, можно было бы обеспечить устойчивые основания, которые желали бы иметь платонисты, да и с онтологической точки зрения – это ересь, поскольку объект не изменяется. Одно время объектами естественных наук были только наблюдаемые макрообъекты типа растений и животных. Математические объекты тогда, конечно, не были объектами того же рода. Затем объекты естественных наук превратились в микрообъекты, т.е. стали ненаблюдаемы, как и объекты математические, и, казалось бы, нужно сказать, что все наоборот – это объекты науки (стали) похожи на математические. Аналогичное замешательство возникнет при рассмотрении эмпиризма.

Что было бы, если бы математические объекты, как флогистон, однажды исчезли бы? Какое облегчение для студентов!

И все же именно эта ссылка на объекты естественных наук объединяет разнообразные варианты платонизма.

Период деятельности Ш. Эрмита характеризовался появлением на сцене и в сердце Анализа таких функций, которые нельзя было представить простыми формулами, как хотел Л. Эйлер. Они должны были рассматриваться как объекты в себе, завершенные и по своей природе бесконечные.

Таким образом, математический платонизм зарождался в процессе отделения математики от физического мира, и его кульминация пришлась на девятнадцатое столетие. Когда верилось, что мир создан Богом с использованием математических форм, что книга природы написана на языке математики (Галилей), проблема

5 M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит., p. 87.

114