Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Онтология

лов об опасности и сексуальных призывов. Однако она продолжает жить в научных кругах и существовать в различных формах, в том числе, неявно выраженных или непризнанных (в Трактате Л. Витгенштейна, например). Ее перманентность и стойкость, видимо, определяются именно тем фактом, что язык представляет собой единственный инструмент, который имеется для изучения бытия. Уточним сразу, принимая во внимание аналогии, которые часто возникают, что это неверно в отношении математики, которая имеет в своем распоряжении экспериментальное сопоставление с реальным миром в качестве контроля (и источника вдохновения). Кроме того, математический язык не останавливается в своем развитии, но для того, чтобы он был признан, безотносительно к тому, выражает этот язык что-то или нет, он должен быть серьезно проверен в соответствии с определенными нормами, существование которых имеет свое специфическое объяснение.

Тот, кто не признает изоморфизма языка и бытия, встречает очевидные трудности при занятиях онтологией и зачастую доходит до того, что оказывается в ловушке абсолютизации языка и изучает только его. Номиналисты отрицают существование универсалий, допуская, что существуют только индивиды или конкретные предметы (не общие, но единичные, особенные). Они могли бы рассуждать следующим образом. Можно сказать, что «красота не существует», но эта фраза будет означать, что существуют только красивые вещи. Если имеются прилагательные, то существительные, в соответствии с их подходом, излишни и устранимы. Имена прилагательные предшествуют именам существительным и в ходе их изучения, и в процессе применения. Не станем здесь скатываться в дискуссию, хотя можно было бы утверждать, что в некоторых случаях существительное идет впереди прилагательного или, по крайней мере, одновременно с ним. В английском языке слово «beautiful»5 образовано, кажется, от «beauty»6, но известно, что английские дети запоминают сначала «beautiful», а не фразы со словом «beauty», за исключением случа-

5Красивый (англ. – прим. переводчика).

6Красота (англ. – прим. переводчика).

55

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ев «beauty-case»7 или чего-то подобного, впрочем, не будем углубляться в лингвистические тонкости. Этот пример искусственный и приведен для удобства.

«Я поражен красотой картины» может быть выведено из «я не могу остаться равнодушным, когда рассматриваю картину и вижу, насколько она красива». Аналогичная ситуация имеет место и для некоторых абстрактных понятий и конструкций, например, «думаю, что…» является основой и может заменить «есть одна мысль…», что, однако, не соответствует истине по мнению тех, кто отрицает существование ментальных состояний; так «четыре яблока» является основой по отношению к «число четыре».

Когда есть прилагательное типа «красивый», то можно образовать также и существительное «красота». После этого, вместо утверждения, что есть нечто красивое, можно сказать, что это нечто обладает красотой. Тогда, с одной стороны, это качество напрашивается в ансамбль бытия, с другой стороны, имя существительное, образованное однажды, может законно быть подлежащим в других грамматических фразах. Грамматика регулирует использование слова, и становится возможным сформулировать множество предложений со словом «красота» в качестве подлежащего. Все эти утверждения могут быть даже организованы в целую теорию, предметом которой станет красота, что и происходит, например, в эстетике. Если эти образованные слова имеют значение в том смысле, что их можно использовать для целей общения и коммуникации, то, вполне возможно, именно правила языка являются тем, что формирует это значение. Спрашивается тогда, с чем имеет дело изначально или с чем должна иметь дело философия, с сущностями или же со словами?

Лингвистический анализ выхолащивает онтологический вопрос или трансформирует его, преобразуя в проблему, которая, в свою очередь, также не имеет окончательных ответов. Когда дойдем до высказываний типа «красота есть счастье жизни», то вполне обсуждаемо, что оно могло бы произойти из фразы «видеть красивые вещи есть счастье жизни». Понятно, что это не только вопрос того, что видно в действительности. Есть красота и в музыке, и в рассуждени-

7 Косметичка (англ. – прим. переводчика).

56

Онтология

ях. Это не вещи. Это другие абстрактные сущности, пожалуй, отличного от универсалий типа. Можно было бы вести речь об опыте в общем, который касается не только видения вещей, но такой подход представляет собой основу достаточно скользкую. Аналогично можно рассуждать по отношению к словосочетанию «счастье жизни». Исключение этой конструкции, похоже, потребовало бы достаточно сложной трансформации начальной фразы, следовательно, можно предположить, что есть контексты, из которых абстрактные слова не могут быть удалены, и что нельзя разговаривать без их использования. Этотвыводневлечет, во всякомслучае, засобойтезисо том, что подобные слова, которые кажутся относящимися к абстрактным сущностям, на самом деле относятся к ним и их выражают. Неустранимость таких слов может рассматриваться только как косвенное доказательство этого. Возможна также разработка определенной теории языка, в соответствии с которой не все имена существительные обозначают что-либо (такая ситуация имеет место у некоторых теоретическихтерминовнаучныхязыков8).

Все это обсуждение имеет прямое отношение к философии математики в контексте проблемы эквивалентности математических понятий и универсалий. «Число» должно быть чем-то похоже на «красоту», как у Платона9. В действительности же такое приравнивание представляется весьма сомнительным. Когда дети изучают применение числовых терминов и обычных существительных, они бывают смущены различием двух практических ситуаций. Перед четырьмя плюшевыми игрушками они могут повторять, дотрагиваясь до них последовательно, «мишка», «мишка», «мишка», «мишка». Таким образом изучают, что эти ярлычки, однажды данные предметам, остаются к ним прикрепленными, и после этого уже не могут ассоциировать вещь с двумя различными словами (например, «мишка» и «собачка»). С числовыми ярлычками «один», «два», «три», «четыре» все происходит наоборот. Одина-

8По этому вопросу см. C.G. Hempel, La formazione dei concetti e delle teorie nella scienza empirica (1952–1958), Milano, Feltrinelli, 1960.

9Платон иногда разделял мир Идей и Объекты математики, а иногда отождествлял второе с первым.

57

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ковые предметы имеют разные этикетки, и, если порядок изменен, тот же самый предмет получает разные ярлычки. Правила для числовых терминов другие, отличные от правил для обычных существительных (последние не являются, собственно говоря, универсалиями, хотя им очень близки).

Возможно, то общее, что у математических понятий типа чисел есть с универсалиями, суть отрицательные свойства. Ясно, что они не являются первыми словами, которые изучаются человеком, когда он начинает говорить, что осваивается сначала их употребление в функции прилагательного и что их использование может быть исключено из многих фраз и рассуждений. Таким образом, альтернатива между онтологией и лингвистическим анализом остается актуальной также и для математики.

Можно обсуждать необходимость вводной теории математических терминов для тех, кто начинает заниматься этой наукой. Если допустимые способы использования слов являются вопросом вводным, то разъяснение, как применять математические термины, могло бы стать задачей грамматики или логики, но в действительности математика сама рассуждает не только об объектах, но также и о словах, которые использует, посредством определений.

Дискуссия на тему слов и их применения представляется, во всяком случае, делом менее обязывающим и значимым, чем онтология. Вопрос о возможности исключения определенных терминов из фраз или рассуждений по отношению к математическим понятиям может быть поставлен вполне четко. Недавний пример – попытка Р. Карнапа сконструировать новую бесклассовую теорию (no class theory) для множеств, о которой поговорим далее. Случай показательный, но, по существу, малоизвестный несмотря на известность самого Р. Карнапа как философа.

Рудольф Карнап10 утверждал, что материальный способ рассуждений мог бы и должен быть заменен в науке на формальный, т.е. на способ, при котором необходимо жестко следовать правилам синтаксиса научных языков. «5 есть простое число» означает лишь «5 делится только на 1 и на 5» и из этого не следует (в мате-

10 R. Carnap, Die logische Syntax der Sprache, Wien, Springer, 1934; англ. перев. The Logical Syntax of Language, London, Routledge&Kegan Paul, 1937.

58

Онтология

матике, в отличие от метафизики), что «5 есть число». Это утверждение исчезает при формальном способе рассуждения. Конечно, это не теорема, но определенное металингвистическое замечание, означающее, фигурально выражаясь, что нумерал11 «5» получен посредством применения терминообразующих правил языка арифметики. В научных языках нет никакой необходимости в общих словах типа «предмет» или «число», которые характерны для естественного образа рассуждения, то есть такого способа, при котором каждый термин предположительно обозначает что-то реально существующее. Грамматическая функция таких слов – местоимение, и в формальных языках они заменяются переменными.

Позиция Р. Карнапа не имеет отношения к номинализму. Он не утверждает, что существуют отдельно взятые числа, а не число как общее понятие. Его позиция означает, что проблема существования заменяется вопросом использования лингвистических правил научных языков.

В науке, и в математике особенно, требование точности не подвергается сомнению. Правила грамматики должны быть очень четкие, гораздо точнее, чем в естественном языке, чтобы однозначно определять значения терминов, если это грамматические правила, фиксирующие смысл или, в общем случае, использование этих понятий. Все это обусловливает необходимость создания некоего идеального языка для математики, и эта потребность была удовлетворена логицизмом, правда, как увидим далее, совсем на других основаниях, более близких к языку, который обнаруживает

11 Почти во всех научных языках нумерал для числа 5 не является первичным символом, а представляет собой термин, сконструированный на основе других, более фундаментальных; система счисления на основе десяти – обычно производная, и десять цифр введены как аббревиатура (прим. автора).

Под нумералом в литературе понимается символ или группа символов, используемых для представления числа. Различие между нумералами и числами такое же, как между словами и идеями, которые выражаются словами, т.е. число есть концепция, которую выражает нумерал. Нумерал может быть написан, зачеркнут или стерт, а число – нет. Одно и то же число может быть представлено различными нумералами, например, символы «5», «пять», «IIIII» и «V» представляют собой различные нумералы, но все они выражают одно и то же число (прим. науч. редактора).

59