Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

бытие. Отметим, что в философии математики часто случается, когда одни и те же технические решения или одни и те же данные имеют свое особое обоснование в различных ее течениях. Происходит это потому, что такие данные или сведения являются реальностью математики и не могут быть отброшены при изучении ее сути, поэтому они рассматриваются каждой философией и каждой из них по своему обосновываются. Таких ситуаций существует достаточно много (как, впрочем, и в случае, когда мы рассматриваем религии).

Анализ лингвистических вопросов гораздо более интересен (хотя и более сложен) в приложении к математике, а не в отношении универсалий. Для ответа на них или только для обоснования некоторых положений нужно уже углубляться в тонкости математических теорий. Если вновь говорить о проблеме элиминации определенных терминов из фраз и рассуждений, то здесь уже не достаточно показать новые формулировки основных положений или других высказываний без использования абстрактных понятий, о которых идет речь. Требуется также проверить, что новые версии доказуемы или эквивалентны исходным, или имеют, по крайней мере, те же самые основные следствия, или удовлетворяют каким-то другим аналогичным условиям (и каждое из этих требований определяет только один возможный вариант исключения). Вместо этого часто имеются однозначные окончательные заключения – утвердительные или отрицательные12.

Обоснованность сочетания онтологии и математики – наоборот, вопрос достаточно спорный. Вернемся снова к красоте как к типичной универсалии. Она является предметом определенной теории и даже не одной. Все они относятся к эстетике. Скольким из этих теорий необходимо онтологическое вступление и сопровождение, зависит, вероятно, от теорий и от онтологии. Если онтология подтверждает, что существуют такие понятия, как красота, то возможно, что этим она передает право на исследование таких

12 В методологии дедуктивных наук (используя старую терминологию А. Тарского) изложение вопросов элиминации терминов входит в раздел, посвященный определимости и изучению консервативных расширений теорий.

60

Онтология

понятий эстетике, налагая при этом определенные ограничения, которые могут зависеть от рода существования (к примеру, ante rem или in re, не углубляемся далее). Если же онтология говорит, что красота не существует, то люди все равно продолжают изучать красоту и строить теории на этот счет. Эти теории, однако, должны быть увязаны с несуществованием красоты и переформулированы в соответствующих терминах. Поскольку эстетика – часть философии, совершенно справедливо требовать, чтобы отдельные её разделы были бы согласованы между собой.

Математика – другое дело. Она исторически предшествует онтологии, и математические теории представляют собой построения, не зависящие от философских предписаний. Чем являются математические объекты и существуют ли они – решает математика.

Можно выделить два различных фундаментальных подхода, определяющих статус философии математики: нормативный и дескриптивный. В соответствии с первым философия должна быть чем-то, что принципиально предшествует математике в смысле наложения определенных условий и ограничений на то, как математика должна развиваться, или вынесения различных вердиктов по поводу правомочности ее отдельных разделов. В соответствии со вторым философия должна принять к сведению математику такой, какая она есть, извлечь из нее определенные установки, обдумать их каким-либо образом и с какой-то четко определенной целью. Значительная часть философии математики посвящена обсуждению этой проблемы статуса философии математики, т.е. представляет собой мета-философию, то есть над-философию.

Если онтология имеет нормативные претензии, то она может дойти и до прямых указаний, какие разделы математики должны быть забракованы или переформулированы (если возможно) из-за их несоответствия онтологическим установкам. Однако всегда должно быть выяснено, с помощью каких инструментов и на каких основаниях философ-онтолог может осуществлять перевороты во взглядах на математическое бытие и чем они отличаются от инструментов и оснований математика.

61

Философия математики: наследие двадцатого столетия

В случае выбора в пользу дескриптивного подхода онтология имеет мало автономного пространства. В этом случае философ может только принять к сведению, предполагают ли математические теории (в зависимости от того, как они разработаны и представлены) определенную онтологию или нет, и какого рода. Если его онтологическое учение явно противоречит математике, то оно остается лишь частной декларацией. Отметим в заключение, что онтологический вопрос представляет собой только один из возможных способов того, как можно начать изучать философию. Несомненно также, что этот способ взаимосвязан с другими философскими проблемами и подходами.

62

Эпистемология

3. ЭПИСТЕМОЛОГИЯ

Метафизик, который высказывает свои многозначительные утверждения о действительности, должен иметь определенный познавательный инструмент, который он сам и все те, кто его слушает, считали бы надежным и достоверным или, по крайней мере, функционирующим корректным образом. Кроме того, этот инструмент не должен опираться на эмпирические преходящие аспекты реальности. Этот инструмент есть не что иное, как способность, которую обычно называют «разум» со всеми его проявлениями, среди которых ум, трансцендентальный интеллект, интеллектуальная интуиция и прочее.

Метафизик не обсуждает и не критикует свои познавательные способности в то время, когда излагает собственное видение действительности, но другие вполне могут это делать и делают. Когда другие философы (или сам метафизик, «сменив одежды») проводят анализ такого типа, то говорят, что они излагают или разрабатывают определенную теорию познания. Философия математики связана не только с онтологией, но и с теорией познания, причем с последней – более богато и разнообразно.

Вновь возникает вопрос, почему именно философы имеют притязания на разработку этого направления, почему эта проблема должна относиться к их компетенции, а не передаваться другим специалистам. В действительности существует мнение, что задача по изучению человеческих способностей к познанию и пониманию должна быть оставлена за учеными-специалистами, причем оно высказывалось как философское или метафилософское положение, в особенности, в натурализме У. Куайна. Поскольку наши знания в этом направлении все еще во многом неполные, а по правде говоря, неясные и смутные, то совсем не очевидно, кто из ученых должен исследовать эту проблему и с помощью каких инструментов (по мнению У. Куайна – психологи, что, возможно, является для них слишком большим кредитом доверия). Имеется, следовательно, простор для предварительных дискуссий неспециалистов, дискуссий того типа, которые обычно оставляют для философов.

63

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Именно поэтому теория познания остается одним из возможных разделов философии.

В течение всей истории западной философии математика всегда рассматривалась как образец знания, как пример знания исключительно верного и абсолютно гарантированного.

Достаточно привести одну цитату1:

Эта геометрическая наука является постоянной и обязательной системой отсчета для всех изучающих законы природы… Но оставляя в стороне интерес и важность, которые ей присущи в этой области, геометрия имеет большое значение и особенную ценность для всех тех, кто желает понять основы человеческого познания и методы, посредством которых добывается знание, ибо исследователь этой науки приобретает основательную уверенность в существовании необходимых истин с такой степенью ясности и четкости, которуюнематематикудажетрудносебепредставить…

Если математика представляет собой образец надежного знания, то и исследования математического знания должны, вероятно, проводиться изнутри и, если не математиками, то, по крайней мере, математическими методами. Однако такая перспектива признается далеко не всеми. Когда подобную программу для математики предложил в недалеком прошлом Д. Гильберт, то он встретил сомнения и противодействие.

Впоследнее время анализ математического знания проводился скорее с целью развенчать его предполагаемую строгость. Причем

влучшем случае с намерением обосновать его, а не принимать как нечто само собой разумеющееся, или же с целью защитить его от нападок скептиков.

Влюбом случае существуют веские основания утверждать, что истинное место философии математики должно быть в рамках эпистемологии.

Онтология и эпистемология, несомненно, взаимосвязаны. Если имеется тезис о статусе математических объектов, то необходимо дать определенное объяснение того, как мы их понимаем и как мы их можем познать. Также и наоборот, если есть теория человеческих когнитивных способностей, то из нее вытекает есте-

1 W. Whewell, The Philosophy of Inductive Sciences, London, 1858, Part 1, Bk.2, ch.4, §8.

64