Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

формулой, чем анализом, вероятно, уже заключением проведенного, но скрытого, философского анализа. Не ясно к тому же, была ли целью этого философского анализа формулировка выводов, заключённых подобными тезисами, или же они являлись предпосылками для этого самого анализа, к которому сейчас самое время обратиться.

50

Онтология

2. ОНТОЛОГИЯ

Итак, вернёмся вновь к вопросу о том, что представляет собой философия математики и к дискуссии о природе математики для того, чтобы начать использовать философские термины, такие, как, например, «природа». Однако сразу возникает вопрос, почему подобное исследование сущности математики должно интересовать, или быть частью, или разделом философии. Философия занимается всем или только важными проблемами? И какими же? Верно также и то, что существует философия dans le boudoir1, но традиционно философия подразделяется на четыре части: метафизика, логика, этика и эстетика.

Математик, которого попросили бы выбрать среди них раздел, наиболее близкий к своему, указал бы, вероятно, на логику и был бы удивлен, узнав, что философию математики чаще всего относят к метафизике. Именно здесь, в первой, наиболее философской, части и происходит это соприкосновение. И происходит оно следующим образом.

Если математика представляет собой исследование или рассуждение, то она должна иметь свой собственный предмет. Более того, если это наука, тогда она не только имеет предмет, но и, разумеется, предоставляет знания о нем, и эти знания должны быть истинны. От предмета дисциплины осуществляется переход к объектам, о которых она рассуждает или которые исследует. Этот переход не настолько очевиден, как может показаться на первый взгляд. В любых других науках можно описывать объекты изучения без особых проблем, поскольку эти науки исследуют либо макроскопические, либо микроскопические предметы реального мира. Такая ситуация характерна и для ботаники, и для биологии, и даже для физики, хотя в действительности их объекты часто являются лишь квазинатуральными, поскольку изучаются идеализа-

1 В будуаре (фр. – прим. переводчика).

51

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ции, полученные, в большинстве своем, с использованием математики, но это уже вопрос, относящийся, скорее, к философии науки.

Для математики нельзя охарактеризовать ситуацию аналогичным образом. Никто, даже радикальный приверженец эмпиризма и даже в отношении евклидовой геометрии, не отважится утверждать, что создания (творения), о которых рассуждает математика, существуют в физическом мире.

Выходит существующее, входит бытие. Выходит мир (вселенная), входит онтология. Все это не более, чем терминологические трюки философии, но если в дело вмешивается онтология, или наука о бытии2, тогда математические объекты становятся видимы и оценены как особые случаи или особо интересные, отличные от других типов абстракций, со значительной склонностью к универсалиям. Например, число есть одно из всеобщих универсальных понятий, которое принимает участие, распределяется или присутствует в отдельно взятых числах. Бывает, что подобные объекты становятся предметом отдельной науки, в отличие от прочих отвлеченных понятий, поэтому метафизика находит в математике «еще один кусок хлеба для своих зубов», причем не только в онтологическом смысле, но и, возможно, как определенную модель.

Если математические объекты имеют метафизический статус, если математика и онтология находят точки соприкосновения, то это означает, что математики иногда занимаются метафизикой. Они либо выступают в роли поставщиков для метафизиков, предоставляя им новые понятия (сущности) для изучения, либо являются их коллегами, которых интересуют различные аспекты одной и той же реальности.

Описание математических объектов и их характерных особенностей, несомненно, является специфической задачей математиков.

2 Онтология прикладная, напротив, представляет собой новое научное направление, объединяющее и упорядочивающее исследования особых аспектов реального мира, которые ускользают из поля зрения всех остальных наук.

Термин «онтология» используется не только в философии, а также, к примеру, в биологии, где означает учение о развитии формы, строения и способностей индивидуального организма начиная с момента оплодотворения яйца.

52

Онтология

Совсем не такими четкими представляются обязанности метафизиков. Их задача – сказать, существует ли что-то и что именно существует в смысле неслучайном (то есть безотносительном к тому, что рождается и умирает), если все-таки что-то существует без рождения и смерти. Следовательно, для философии, вероятно, остается обязанность (или она присваивает себе эту обязанность) показать прежде всего, что математические объекты существуют и разговор о них – не пустое сотрясение воздуха, что, наоборот, этот разговор содержательный и даже наиболее аргументированный и имеющий под собой очень серьёзную основу по сравнению со всеми прочими темами.

Но, может быть, математики уже доказали наличие своих объектов и предложили серьезные обоснования истинности своих рассуждений и доказательств? Что еще можно добавить? Если признать существование математических объектов, то следующей задачей могло бы стать их позиционирование в ансамбле бытия. Кроме того, нужно показать необходимость математических сущностей, их свойства и возможности, а также их резонность и обоснованность. Дальнейшие возможные шаги – выявление связей с другими проявлениями бытия или определение его вида, к которому они могут быть отнесены, и, вполне возможно, способа рассуждения, который бы наилучшим образом подходил для их изучения, поскольку различные сущности требуют своих особых методов исследования и рассуждения. Однако какие инструменты имеют философы для этой работы, инструменты, которые отличались бы от инструментов математиков?

Это важный вопрос, к которому придется возвращаться не раз

входе последующих рассуждений.

Уфилософов нет никаких дополнительных инструментов за

исключением, пожалуй, профессионального умения вдаваться в тонкости3. Философы имеют хороший навык без конца задавать новые вопросы и производить неисчерпаемые pilpul4. Такое заня-

3В оригинале – разделить волос на четыре части. – прим. переводчика.

4В Талмуде pilpul или «пилпул» обозначает оригинальное, остроумное суждение. Переводится словарем Дрора как казуистика, схоластическая полемика (прим. переводчика).

53

Философия математики: наследие двадцатого столетия

тие, само по себе, достойно одобрения, даже если не связано с Талмудом, но временами спорное и безосновательное. Платон, к примеру, утверждал, что философия, ее диалектика превосходит математический метод, поскольку математики завершают свои исследования на уровне аксиом, а философы идут дальше или, по крайней мере, заявляют о желании пойти дальше в анализе ситуации.

Дискуссия формирует, создает, смещает проблемы. Вместо ответа вдруг появляется новый вопрос. Поскольку не существует альтернатив разговорному разрешению какой-либо философской проблемы, то она часто рефлексивно трансформируется в лингвистическую, то есть в проблему, имеющую отношение, скорее, к используемому языку. В качестве примера подобного превращения рассмотрим ситуацию с универсалиями. Представим ход одной вымышленной дискуссии, заранее попросив извинения за возможные и неизбежные шероховатости.

Универсалии представляют собой абстрактные общие понятия, названные таким образом, поскольку присущи большому числу индивидуальных вещей и особей. Типичный пример – красота. Платон говорил об Идеях. Онтологическая проблема состоит в том, существуют ли они или нет. Реалисты утверждают с последующими уточнениями и дифференциацией, что они существуют. Отрицать, что красота существует, весьма проблематично не потому, что это означало бы утверждение тезиса «все некрасиво», а потому, что фраза «красота не существует» имеет подлежащее «красота» и, в соответствии с лингвистическими концепциями, использование термина в качестве подлежащего придает ему почти реальное существование. Также отрицание существования ка- кого-либо понятия уже заключает в себе разговор о нем и в случае категории бытия утверждает его существование. Парадокс восходит к Пармениду – небытие есть.

Идея о том, что язык проявляет бытие, есть у Аристотеля, у которого структура бытия изоморфна структуре повествовательного предложения. Кажется достаточно парадоксальной идея о том, что бытие раскрывается человеческим лепетом, стоящим лишь немного выше животного, эволюционировавшим из сигна-

54