Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Часть первая. Философия математики

Необходимо отметить также, что философия математики имеет, по меньшей мере, две сущности. С одной стороны, это философия в чистом виде, и она не имеет ничего общего с математикой. С этой точки зрения, для любого математика совершенно позволительно и, даже, вполне допустимо не понимать эту науку или совсем ее проигнорировать. Однако, с другой стороны, она несомненно связана с развитием математики как через обмен идеями и мыслями, высказанными и воспринятыми математиками, так и посредством влияния, которое она оказывает как общекультурный фактор, в том числе и вышеупомянутыми путями, на цели и задачи этой научной дисциплины, ее позиционирование в системе обучения и преподавания, ее оценку в обществе со всеми вытекающими из этого последствиями. Таким образом, изучая философию математики, специалист всегда сможет лучше понять свою собственную науку, повысить ее роль и значение, а также поднять значимость своей собственной работы.

Все это также представляет собой одну из причин, по которой был сделан выбор в пользу рассмотрения современных теорий вместо классического анализа, посвященного учениям Древней Греции, Древней Индии и так далее, как это обычно делается. Самое большее, в настоящей работе прослеживаются истоки некоторых философских течений в девятнадцатом столетии, без углубления в более ранние исторические периоды.

Возможно, многие читатели-математики мало знакомы с предметом и методами философии, поэтому вначале затрагивается именно эта тема, которая, надо заметить, весьма не проста для точных формулировок. Но все еще гораздо сложнее, к сожалению, с математикой для читателей-философов. Для них ее можно только цитировать или приводить ссылки на оригинальные работы. Первая часть книги целиком посвящена философии и может быть пропущена теми читателями, которым она либо не нравится, либо покажется слишком трудной, как это часто бывает с математиками. Все рассматриваемые в ней темы вновь, но уже более конкретно, будут обсуждаться во второй части книги, в которой проводится обзор и анализ различных течений философии математики. Первая часть также может быть прочитана во вторую очередь теми

45

Философия математики: наследие двадцатого столетия

читателями, которые уже освоили философскую терминологию и хотели бы вначале изучить всю панораму направлений философии математики и только потом сравнить собственные впечатления, полученные (на что хотелось бы надеяться) при глубоком изучении приведенных первоисточников, с авторскими в рамках обсуждения целей и задач философии.

46

Философская проблема

1. ФИЛОСОФСКАЯ ПРОБЛЕМА

Вполне вероятно, первым, и законным, вопросом читателя будет желание узнать, что такое философия математики. Достаточно часто ее определяют непосредственно как ответ на специфический вопрос – что такое математика.

Ответов на этот вопрос в истории западной мысли встречается великое множество и, чем ближе мы к нашему времени, тем больше вариантов, видимо, потому, что математика становится наукой все более сложной и значимой. Оставим пока в стороне ответы таких классиков, как Платон или Кант1, и приведем ниже далеко не полный обзор высказываний философов и математиков по данной проблеме2.

Р. ДЕКАРТ (1628)

Должна существовать всеобщая наука, которая объяснила бы все то, что возможно знать о порядке и мере, взятых независимо от их применения к какой-либо конкретной ситуации… и, действительно, такая наука существует и имеет собственное, освященное длительным периодом ее эффективного использования, имя – математика.

Д.В. МЕЛЛОУ (1902)

Высшая математика есть искусство рассуждения о численных отношениях среди природных явлений.

1Некоторые воспоминания о философии этих мыслителей должны непременно остаться у каждого читателя после всего предыдущего образования. Чтобы освежить память, можно обратиться к книгам S. Shapiro и M. Potter, уже упомянутым выше, или же к книге Les philosophes et les mathematiques под ред. E. Barbin и M. Caveing, Paris, Ellipses, 1996.

2Большинство из этих высказываний, а также другие, можно найти, к

примеру, в R.E. Moritz, Memorabilia Mathematica, Washington D.C., Mathematical Association of America, 1914.

47

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Дж.Дж. СИЛЬВЕСТР (1844)

Число, место и комбинация – три особые и самостоятельные, но, в то же время, перекрывающие одна другую и пересекающиеся сферы рассуждения, к которым все идеи математики, так или иначе, могут быть отнесены… три важнейших понятия – Количество, Пространство и Порядок.

Э. ПАППЕРИЦ (1891)

Предмет чистой математики заключается в связях и отношениях, которые могут быть концептуально установлены между совершенно произвольными элементами в предположении только о том, что они входят в состав

некоторой упорядоченной множественности.

Г. КРИСТАЛ (Брит. энциклоп., 9 изд.)

Каждая концепция, которая может быть полностью и окончательно определена посредством конечного числа уточнений, например, заданием конечного числа элементов, представляет собой математическое понятие. Функция математики состоит в том, чтобы выявлять неявные следствия, присутствующие в описании группы математических понятий.

Ф. КЛЕЙН (1902)

Математика в общем представляет собой в основном науку об очевидных вещах.

Г.Д. ФИТЧ (1910)

Чистая математика представляет собой набор гипотетических дедуктивных теорий, базирующихся на четкой системе простейших, но не определенных, понятий и символов, а также простейших непротиворечивых, но не доказанных утверждений (обычно называемых аксиомами) совместно со следствиями, логически выводимыми из них при помощи строго дедуктивных методов без единого обращения к интуиции.

Б. РАССЕЛ (1901)

Чистая математика состоит всего-навсего из утверждений типа «если высказывание такое-то верно при каких-нибудь условиях, тогда высказывание сякое-то верно при тех же самых условиях».

Б. ПИРС (1850)

Математика – это наука, которая выводит необходимые заключения.

48

Философская проблема

А. УАЙТХЕД (1898)

Вся математика заключается в организации ряда поддержек воображению в процессе размышления.

НОВАЛИС (1901)

Чистая математика не имеет дела с величинами. Она представляет собой лишь доктрину записи мыслительных операций, между собой упорядоченных и доведенных до механического использования.

Ч.С. ПИРС (1881)

[Математика] есть изучение идеальных построений (часто применимых к реальным проблемам) и выявление посредством этого отношений, прежде скрытых, между частями этих конструкций.

Дж.Ф. ГЕРБАРТ (1890)

Все то, чего самые великие умы человечества достигли в постижении форм посредством понятий, заключено в великой науке, которая называется математикой.

Э.В. ГОБСОН (1910)

Возможно, наименее неудовлетворительное описание (я не назвал бы это определением) основной цели современной чистой математики может быть сформулировано следующим образом. Математика занимается формой в наиболее широком и общем смысле этого термина.

Прочитав эти определения, сразу хочется сказать огромное спасибо всем уважаемым мыслителям, однако несколько позже все эти описания осознаются как нагромождение, напоминающее Вавилонскую башню. Даже без больших познаний не трудно понять, что каждое определение было сформулировано под влиянием как культуры в целом, так и состояния математики того времени, которые в девятнадцатом веке претерпели существенные и стремительные изменения. Каждый тезис использует понятия, которые отсылают к проблемам, не во всем очевидным и требующим пояснений. Каждое утверждение является скорее концентрированной

49