Материал: Hydrogeodynamics101

Первый способ, по существу, эквивалентен описанным выше способам обработки результатов опытных откачек. Он уже неодно­кратно иллюстрировался примерами в предшествующих главах — при изложении методов расчета плановой фильтрации (например, см. разделы 3.3, 3.4 и 4.1). Поэтому здесь мы остановимся лишь на втором и третьем способах отыскания параметров.

2. Прямое определение параметров

интегрированием исходных дифференциальных уравнений на математических моделях

(7.4)

(7.4)

Заметим прежде всего, что наиболее очевидный подход—реше­ние дифференциального уравнения, записанного непосредственно относительно искомого параметра, — оказывается обычно неприем­лемым не только из-за отсутствия необходимого объема входных данных, но и ввиду неизбежных погрешностей последних. Так, если находится коэффициент пьезопроводности, то, казалось бы, его мож­но определить из дифференциального уравнения вида (2.22) по фор­муле

четной точки). В таком варианте, однако, приходится численно диф­ференцировать опытную функцию S(х, у, 0, что является, как изве­стно [16], операцией некорректной. Нетрудно показать, например, что дисперсия опытной функции при этом многократно возрастает,

так что параметр а*будет определен с большой погрешностью.

Для полного отказа от упомянутых некорректных операций не­обходимо, очевидно, искать параметры из соотношений, в которых отсутствуют производные от опытных функций. Для этого предвари­тельно необходимо либо приближенно проинтегрировать непосред­ственно исходное дифференциальное уравнение, либо заменить его интегральным аналогом и решить затем последнее относительно па­раметра (интегральные методы — см. раздел 7.2.3).

Наиболее эффективный аппарат для определения параметров из исходного уравнения дает численное или аналоговое моделирование, которое позволяет, в частности, гибко учитывать требования физи­ческого правдоподобия модели при введении в нее контрольной ин­формации о напорах и расходах потока. Для условий установивше­гося режима фильтрации решение обычно заключается в расчете усредненной проводимости в пределах рассматриваемого участка или в определении условий питания водоносного горизонта. Эти за­дачи можно решать как на сеточных моделях, так и на моделях из электропроводящей бумаги или комбинированных. Например, для определения средней проводимости на бумаге вырезают зону, содер­жащую выраоотки с известными водопритоками и ограниченную замкнутой гидроизогипсой с заданным напором вдоль нее или други­ми контурами с известными граничными условиями. Проводимость моделируемой зоны рассчитывают исходя из замеренной на модели силы тока. При наличии на отдельных участках вертикальных пере­токов или дополнительного инфильтрационного питания целесооб­разно использовать комбинированные модели из электропроводной бумаги с дополнительными переменными сопротивлениями, диск­ретно присоединенными к бумажной модели [14], или же двумерные численные модели.

При решении задач неустановившейся фильтрации на моделях обычно определяют усредненную водоотдачу (при известной прово­димости) или коэффициент пьезопроводности. Например, решение обратной задачи такого типа по методу Либмана (см. раздел 4.3) сводится к определению соотношения между величинами сопротив­лений R_x и Ry отвечающими проводимостям отдельных ячеек моде­ли, и временными сопротивлениями R_t, подключенными к каждой узловой точке: при заданных граничных и начальных условиях на модели подбирается такое усредненное соотношение R_t/R_x, при ко­тором в ее узловых точках фиксируются потенциалы, соответствую­щие напорам на известный момент времени. В целом же, в условиях однородных фильтрационных полей наиболее целесообразно ис­пользовать ЛС-модели, на которых коэффициенты пьезопроводно­сти легко определяются по соотношениям модельного и натурного времени, требуемого для достижения заданного распределения напо­ров (см. раздел 4.3).

Впрочем, использование аналоговых моделей сохраняет какое- то значение преимущественно в рамках учебного процесса: наличие хорошо разработанного программного обеспечения (в частности, для персональных ЭВМ) позволяет уже сейчас делать основной упор в решении обратных задач на численное моделирование (см. раздел

7.2.4).

3. Прямое определение параметров на основе

интегральных методов решения обратных задач

Замена исходного дифференциального уравнения его интеграль­ным аналогом по всем координатам позволяет исключить из уравне­ния производные напоров по этим координатам, так что в результи­рующих выражениях коэффициенты при искомом параметре оказы­ваются зависящими лишь от известных величин напора (или расхода

потока, если в интегральном аналоге уравнения сохраняются фикси­рованные значения первых производных по пространственным коор­динатам) . При некоторых же дополнительных упрощающих предпо­сылках о геометрии фильтрационного потока удается получить ко­нечные аналитические выражения для условия материального ба­ланса, из которых непосредственно определяются искомые парамет­ры. В качестве примера этого последнего типа можно привести опре­деление водоотдачи Д *по результатам откачки из группы скважин в закрытом пласте:

Sq/'/

*_ i = 1

С S(x> у, t)dxdy ’

(Ь) (7.5)

где S — понижение уровня;

t. — продолжительность работы i-й скважины к расчетному мо­менту t;

D — площадь пласта;

п — число скважин.

ЗАДАНИЕ. Уясните балансовый смысл равенства (7.5).

Другим примером сходного свойства является определение про­водимости методом круга Чарного [32 ]. Метод основан на том, что при стационарной фильтрации к группе скважин в неограниченном пласте интегрирование уравнения (2.22а) по некоторой области, С9г держащей скважины и ограниченной окружностью достаточно боль­шого радиуса R, приводят к формуле

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

где г- — расстояние от i-й скважины до центра круга;

Н_К — средневзвешенный напор по контуру R (определяется по карте гидроизогипс);

Н_а — напор в центре круга; желательно, чтобы выполнялось условие R > (1,5+2,0)/р

ЗАДАНИЕ. Убедитесь, что формуле (7.6) является достаточно очевидным обобщением формулы Дюпюи (3.32) на базе принципа сложения течений (см. раздел 3.3).

Для ознакомления с более универсальными интегральными ме­тодами рассмотрим пример расчета проводимости по ленте тока, построенной на карте гидроизогипс. В пределах ленты справедливо следующее выражение, обобщающее уравнение (4.1) одномерной нестационарной фильтрации:

(7.7)

где О) (/) и I— соответственно ширина ленты и ее продольная (осе­вая) координата.

На участках квазистационарного режима уравнение (7.7) после двукратного интегрирования по I дает

(7.8)

г 9*(*о) ^l] ^dl О £ "(O’

где Q_n — известный расход потока в пределах ленты;

lj и 1₂ — координаты точек, в которых известны значения на­

пора в один и тот же момент t_Q.

Смысл формулы (7.8) легко уяснить, если учесть, что выражение

ленты [l_Jt 1₂]. Сравните с формулой (5.54).

Заметим, что в данном примере мы использовали информацию лишь по двум наблюдательным скважинам, а также сведения о рас­ходе потока.

Однако, отдавая должное интегральным методам определения параметров в целом, нельзя не подчеркнуть, что на их эффектив­ность существенно влияет плотность информации по той перемен­ной, от которой зависит вычисляемый интеграл. С этой точки зрения при решении обратных задач можно усмотреть существенную разни­цу в стемени целесообразности интегрирования уравнений фильтра­ции по пространственным координатам — с одной стороны, и по времени — с другой.

В самом деле, в большинстве практических задач фильтрации приходится иметь дело с функциями, плотность информации о кото­рых во времени существенно выше, чем в пространстве. Поэтому эффективность использования методов интегрирования дифферен­циальных уравнений фильтрации по временной переменной должна быть достаточно высокой практически во всех случаях, тогда как интегрирование по пространственным координатам будет иметь смысл лишь при густой сети наблюдательных скважин.

Представляется очевидным, что для исключения производных по временной переменной целесообразно ориентироваться на неко­торые стандартные преобразования, широко используемые в различ­ных математических исследованиях и дающие хорошо разработан­ный аппарат для анализа и решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Таким преобразова­нием является, в частности, преобразование Лапласа-Карсона (см. раздел 4.2).

Применим к уравнению плановой нестационарной фильтрации с перетеканием (см. раздел 2.3)

преобразование Лапласа-Карсона. Введя изображение функции по­нижения S (см. раздел 4.2), придем к стационарному уравнению

Граничные условия для этого уравнения (в том числе иуСЛовия на скважинах в пределах области) получают из граничных условий для уравнения (7.9) путем преобразования формулы (4.44).

Уравнение (7.10) можно использовать для определения водоот­дачи и параметров площадного питания - при известном распределе­нии проводимости. В типовых расчетных условиях оно решается посредством аналитических методов и доводится до конечных рас­четных формул. Для нас основной интерес представляют сложные расчетные схемы, требующие применения ЭВМ или АВМ. Покажем, как решается уравнение (7.10) на аналоговых моделях для областей, в пределах которых упомянутые параметры считаются постоянны­ми.

(7.11)

1

* Соотношение (7.11) нетрудно получить аналогично выводу формулы (4.71) для временного сопротивления в схеме Либмана (см. раздел 4.3.2).

Для этой цели рассчитывается и набирается сетка сопротивле­ний фильтрационного поля R_m * / [Т(х, у) J (см. раздел 3.5), на которую задаются в преобразованном по Лапласу-Карсону виде гра­ничные условия. В каждый внутренний узел сетки подключается дополнительное «операторное» сопротивление R_tp. Для реализации на сетке уравнения (7.10) величина этого сопротивления должна удовлетворять соотношению где (Хф — масштаб сопротивлений. На концы операторных сопротив­лений задаются нулевые значения потенциалов, отвечающие стаци­онарному распределению напоров в момент t ^ш 0.