Материал: Hydrogeodynamics101

6.1.2.

3. Макродисперсия в гетерогенных системах неупорядоченного строения

Системы трещиновато-пористых пород принято обычно представлять условной расчетной средой, состоя­щей из правильного чередования хорошо- и слабопрони­цаемых слоев: первые имитируют трещины, вторые — пористые блоки (см. рис. 5.4). При таком представлении для пласта трещиновато-пористых пород справедливы приведенные в разделе 6.4.2 формулы для двухслойного пласта, в которых следует понимать: под величиной п — активную трещиноватость, под п₀ — пористость блоков, а под тит₀ — половину некоторого приведенного усред­ненного размера блоков т_б. В величине т₆ должны оче­видно отражаться не только размеры блоков, но и их характерная форма: лишь в этом случае соблюдено необ­ходимое соответствие между объемом насыщаемого солью блока V₀ и поступлением вещества через его повер­хность со_б. Для расчетной схемы неограниченной емко­сти (см. раздел 6.4.2) разумно, очевидно, связать значе­ние т₆ с отношением V₆ / а)_б= 1 /S₆, где S₆ — удельная поверхность блоков (для блоков пластинчатой конфигу­рации т_б ^т 2/S₆, а для блоков кубической формы пи - 6/S₆. Тогда приведенная ранее расчетная формула (6.39) может быть переписана для такого условного представле­ния трещиновато-пористого пласта в следующем виде:

(6.47)

Решение (6.47) годится для не слишком большие мо­ментов времени, пока выполняется критерий (6.37) . Ес­ли пласт сложен преимущественно блоками пластинчатой конфигурации, то в формуле (6.37) можно положить т₀ = 0,5т_б; для блоков кубической форму (6.37) дает:

^DM¹

6.48)

г =—^<0,015*0,02 «в Щ

или, приближенно, для блоков с высокими значениями пористости (п «0,1*0,4):

(6.49)

t_H <0,05 w₆²,

где t_H — предельное время (в сутках), для которого мо­жет считаться справедливым решение (6.47), а величина т₆ выражена в сантиметрах.

Приближенное выражение безразмерного критерия х_н через удельную поверхность блоков S₆ имеет вид:

Для длительного переноса, когда время полного диф­фузионного насыщения пористого блока в данной точке

пласта намного меньше времени подхода фронта вытесне­ния к этой точке, справедлива предельная схема макро­дисперсии (см. раздел 6.4.2). Решение для нее принимает вид, аналогичный (6.27), где параметр D заменяется по­добно (6.42), на коэффициент макродисперсии D* при

д₂ = —---₂, когда пласт представлен блоками кубической

^ б

формы. Аналогично формуле (6.44), эта расчетная схема применима при выполнении условий

Sg D t _Vf

r = > 10; x < — .

% "о (6.51)

Уже отмечено, что, принимая во внимание статистический ха­рактер реальных трещиновато-пористых сред, приведенные реше­ния будут давать, конечно, лишь ориентировочные оценки. Разно- размерность блоков обусловливает дополнительное рассеяние веще­ства, величина которого определяется статистическими параметра­ми среды. При этом рассмотренные макродисперсионные эффекты могут оказаться в значительной степени затененными и искаженны­ми. Последнее обстоятельство затрудняет экспериментальную оцен­ку средних значений геометрических характеристик трещиноватой среды, которые определяют интенсивность массообменных процес­сов на больших площадях, т.е. в масштабе прогнозных оценок. Осо­бенно ненадежны прогнозные оценки, относящиеся к комплексам гетерогенных пористых пород неупорядоченного строения. Боль­шие размеры пропластков, линз и включений пород с различной проницаемостью в сочетании с относительно малыми скоростями пе­реноса приводят к тому, что параметры переноса будут определяться в первую очередь размерами, проницаемостью и взаиморасположением элементов неоднородности. Уже отсюда ясно, что в таких условиях исходные параметры для статистически усредненных расчетных схем реально могут быть получены лишь по данным длительных наблюда- н е ий, со из меримых со сроками эксплуатации инженерных ахфужений.

Таким образом, рассмотрев основные процессы и рас­четные схемы массопереноса, мы убедились, в частности, в том, что относительная значимость отдельных фак­торов переноса зависит от характерного масштаба изучения. С изменением этого масштаба одни факторы могут терять свое значение, в то время как другие, наобо-

рот, выходят на первый план. Это обстоятельство должно, естественно, учитываться уже при определении исходных расчетных параметров массопереноса (см. раздел 7.3).

С примером приложения рассмотренных здесь расчет­ных схем массопереноса к анализу конкретной гидрогеоло­гической ситуации вы можете ознакомиться в разделе 8.4. Там же даны основные представления об особенностях ма­тематического моделирования миграционных задач.

5. Процессы теплопереноса в подземных водах — общие представления и простейшие задачи

1. Об аналогии между процессами тепло- и массопереноса

При фильтрации в водоносных горизонтах подземные воды переносят не только растворенные в них вещества, но и тепловую энергию, причем, как и при миграции вещества, перенос идет конвективным и диффузионным путем. Последний, в случае теплопереноса, принято на­зывать кондукцией. Кондуктивный перенос, обусловлен­ный передачей тепла от нагретых участков пласта к отно­сительно холодным, подчиняется закону Фурье, подобно­му закону Фика (см. формулу (6.13)):

^{Qe X(0}dt’ (6.52)

где в — температура;

Qq — расход тепла;

А — коэффициент теплопроводности, характерные

значения его для горных пород достигают первых единиц Вт/ (м -К).

ЗАДАНИЕ. Аналогично выведенному нами ранее уравнению (6.21) для конвективно-дисперсионного переноса солей в однородном водоносном пласте получите уравнение конвективно-диффузионно­го теплопереноса. Считайте при этом, что потери тепла в окружаю­щие пласт породы пренебрежимо малы, а выравнивание температу­ры между фильтрующейся жидкостью и скелетом породы происходит

мгновенно. Используйте в выводе объемные теплоемкости породы С_п и фильтрующегося раствора С_&.

Запишем полученное уравнение теплопереноса в сле­дующем общепринятом виде:

c.|| _{+ c<}v|®-;l^₂,

”St ‘Эх ах²’ (6.53)

где в — текущая температура пласта.

Ему можно придать также иную форму:

дв _ _п д²в

Ив Л V $ э ’ /к ся\

0* дх (6.54)

где

_п _ Я _С_п _ ч С_с

⁶~ С, ' "«"с.. "⁺⁽¹ С_в ’ (6.55)

С_с — объемная теплоемкость минерального скелета.

ВОПРОСЫ. Каков физический смысл последнего выражения для П0? Какие выводы можно сделать из сравнения этой формулы и

выражения (6.11) для эффективной пористости?

Отсюда видно, что между уравнениями (6.21) и (6.54), описывающими массо- и теплоперенос в подзем­ных водах, существует формальная аналогия. В каждом из них имеются параметры, отражающие:

а) интенсивность конвективного переноса;

б) интенсивность дисперсионного (кондуктииного) переноса;

в) накопление массы вещества или тепловой энергии. «Массовым» коэффициентам — активной пористости п и гидродисперсии D соответствуют температурные аналоги, отражающие тепловую емкость п@ и дисперсию тепла Dq.

В гетерогенных системах интенсивность кондуктивного теплообмена между отдельными элементами неоднород­ности (хорошо- и слабопроницаемыми слоями или тре­щинами и блоками) характеризуется коэффициентами теплопроводности А, и температуропроводности

К

a_t — jr~', последнему соответствует «массовый» аналог -

ⁿi

отношение коэффициента молекулярной диффузии к по­ристости D_MJn_t, как это ясно при сопоставлении уравне­ний вида (6.21) и (6.53) приу = 0 (т.е. в случае отсутствия конвекцими).

Формальная аналогия между физическими парамет­рами, однако, не распространяется на соотношение их абсолютных величин. Так, например, для характерных значений коэффициентов теплопроводности песчано­глинистых и карбонатных горных пород ( А» 0,5*3,5 Вт/ (м К) и коэффициентов объемной теплоемкости во­ды и пласта (C_e »4,2 10⁶ Дж/(кгград), С_п» (3+3,7) 10⁶ Дж/ (кг град), коэффициенты термодисперсии Dq будут

находиться в пределах 0,01+0,08 м²/сут, а температуроп­роводности — 0,02+0,1 м²/сут; это на два-три порядка выше абсолютных значений их «массовых» аналогов.

Последнее обстоятельство резко меняет соотношение между конвективной и кондуктивной составляющими теплового потока по сравнению с процессом массопере­носа. Для схемы фильтрационного переноса тепла в гомо­генной среде (например, в однородном песчаном пласте) безразмерный параметр Пекле (см. 6.31) не превышает первых десятков единиц — для характерных условий опытных работ, что говорит о сопоставимости длины зоны рассеяния с общим продвижением вытеснения, в еще большей степени «размывание» фронта происходит при фильтрации в гетерогенных средах, где теплопередача осуществляется одновременно на различных уровнях.

ВОПРОС. Почему применительно к процессам теплопереноса чисто трещиноватые породы долёжны рассматриваться как гетеро­генные системы (в отличие от процессов массопереноса)?

2. Задачи о термометрии скважин

В последнее время термометрия гидрогеологических скважин широко используется для повышения информативности режимных наблюдений гидрогеологической направленности. Особенно эффек­тивно применение термометрии для оценки скоростей перетекания через слабопроницаемые разделяющие слои.

Пусть имеется два водоносных пласта, отделенный друг от друга толщей слабопроницаемых глинистых пород (рис. 6.15). Температу­ра в верхнем пласте вj заметро отличается от температуры нижнего

в₍₎. Напоры в пластах также существенно различны, в результате чего

имеет место перетекание через глинистую толщу с некоторой (неиз­вестной) скоростью v. Найдем решение, позволяющее определить v [39].

67

/у-

'/

/

/

/

/

У~~7 Т

Рис. 6. J5. Схема переноса тепла через относительно водоупорный

слой

Будем считать тепловой поток стационарным. Тогда, подобно выводу уравнения (6.54), получаем обыкновенное дифференциаль­ное уравнение второго порядка:

^Ce^v dd _ d²S

ТЖ

(6.56)

2*

d z

dd

Полагая, что =и и интегрируя, получаем

dO__n, \^Ce^vz\

dz ^{1 exp} [1 J *

Повторное интегрирование дает,

О = Cj exp --j + C2, где постоянные C_y и C₂ определяем из граничных условий

в I _ _Л = 6L 0 I _ = 0, .

j z — О О» |z—m ¹ Окончательно находим

_{й =} _ exp(C_evz/A)-l

^ -д₀ exp (C_e vm/A)'~ 1 • (_6<57)

Полученное решение используется на практике для определе­ния проницаемости разделяющих слоев по данным термометрии.

На рис. 6.15 показана типовая термограмма, отвечающая реше­нию (6.57): штриховой прямой линией дан график распределения температуры при отсутствии перетекания, когда водоносные слои взаимодействуют только за счет тепловой кондукции. По характеру отклонения термограммы от этой прямой можно судить о направле­нии перетекания: при вогнутой термограмме (рис. 6.15) оно направ­лено вниз, а при выпуклой — вверх. Скорость перетекания v нахо­дится из решения (6.57), после чего, зная перепад напоров между слоями, можно определить коэффициент фильтрации разделяющего слоя. При чувствительности термодатчиков около 0,01°С таким пу­тем оцениваются даже весьма малые скорости фильтрации — при­мерно 10'⁴+‘Ю'⁵ м/сут. Нужно, однако, сказать, что существенные ограничения на точность интерпретации термограмм налегает нео­днородность реальных разделяющих слоев, отражающаяся в измен­чивости по разрезу как скоростей фильтрации, так и коэффициентов теплопроводности А. Для прямой оценки коэффициентов теплопро­водности наряду с лабораторными испытаниями образцов можно ис­пользовать период «выстаивания» скважины, закрытой пробкой от теплообмена с поверхностью.