Материал: Chast3giper

3. Теплоємність електронного газу

Із розглянутої вище теорії теплоємності Дебая випливає висновок, що теплоємність металів і діелектриків однакова. На перший погляд таке твердження здається дивним. Адже в металах, на відміну від діелектриків, існує система вільних електронів з досить великою концентрацією, порівнянною з концентрацією атомів. При нагріванні металів вони теж повинні поглинати енергію і тому, розглядаючи електронний газ як одночастинний газ, молярна теплоємність якого дорівнює 1,5R, теплоємність металів повинна була б бути більшою від теплоємності діелектриків на цю величину і складати 4,5R. Це протиріччя пояснюється тим, що електронний газ в металах вироджений і тому в поглинанні енергії приймають участь не всі електрони, а тільки невелика їх частка. Ця доля, як показано в розділі 2.4 формула (2.13), не перевищує 1÷2%. Отже, теплова енергія поглинута електронами одного моля речовини, враховуючи (2.13), дорівнює

,

а теплоємність електронного газу

. (3.14)

При кімнатній температурі 300К енергія kT≈0,025 еВ, а енергія Фермі Е_F ≈1,5 еВ. Тому теплоємність електронного газу С_е ≈ 0,015R << 3R Тому при високих температурах вона не вносить помітного вкладу в загальну теплоємність твердих тіл. Співвідношення (3.14) показує, що теплоємність електронного газу завжди пропорційна абсолютній температурі, а теплоємність гратки при низьких температурах пропорційна кубу температури. Тому в області наднизьких температур С_e стає більшою, ніж С_гр. На рис.3.3 у збільшеному масштабі показана початкова ділянка рис. 3.1. Видно, що електронна складова теплоємності грає переважну роль при температурах порядку 10К.

В завершення, слід зауважити, що електронна теплоємність у напівпровідниках, а тим більше в діелектриках, не проявляється, так як концентрація електронів у них набагато менша, ніж в металах.

3. Теплове розширення твердих тіл

Зміна геометричних розмірів твердих тіл при зміні температури називається тепловим розширенням. Для пояснення природи цього явища розглянемо залежність потенціальної енергії U взаємодії між атомами від відстані r між ним рис. 3.4, суцільна крива 2. Вона відображає крайні положення r₁ і r₂ частинки, яка здійснює ангармонічні (негармонічні) коливання відносно положення рівноваги r_o при температурі відмінній від 0К. Ця крива асиметрична відносно лінії . Ліва вітка іде крутіше, ніж права. Тому відхилення частинки вліво менше, ніж вправо . Середня відстань (точка А) більша від рівноважної . А це й означає розширення кристалу. У випадку протилежної асиметрії кривої потенціальної енергії (рис.3.5) кристал з ростом температури буде стискуватись.

Для кількісного описання явища теплового розширення лінійного наближення залежності сили F взаємодії від зміщення , яке приймається в законі Гука, в теорії теплоємності, тепер уже недостатньо. Дійсно, в лінійному наближенні сила , а потенціальна енергія

(3.15)

уявляє собою квадратну параболу (рис. 3.4, крива 1), симетричну відносно положення рівноваги. Тому середня відстань не змінюється. Отже, в раді розкладення сили по степеням х враховується і квадратичний член з коефіцієнтом ангармонічності g

. (3.16)

Потенціальна енергія, яка знаходиться аналогічно (3.15),

(3.17)

описує асиметричну криву 2 рис. 3.4. Дійсно, знак другого доданку (3.17) змінюється у відповідності із знаком х. При відхиленні вліво x<0 і графік іде вище квадратної параболи, при відхиленні вправо x>0 і крива іде нижче параболи.

Знайдемо коефіцієнт α теплового розширення, як відносну зміну геометричного розміру при зміні температури на 1К

. (3.18)

Середнє зміщення знаходимо усереднивши силу у виразі (3.16). Ясно, що середнє значення сили дорівнює нулю

. (3.19)

Середнє значення потенціальної енергії дорівнює половині повної енергії гратки, тобто

. (3.20)

Тут враховано, що середнє значення , так як в процесі коливань х змінює знак. Із (3.20) знаходимо , підставляємо в (3.19). Одержуємо . Тоді із (3.18) маємо

. (3.21)

Отже температурна залежність коефіцієнта теплового розширення анологічна рис.3.1 температурній залежності теплоємності гратки. Для більшості металів коефіцієнт теплового розширення знаходиться в межах

3. Теплопровідність кристалічної гратки

Явище теплопровідності заключається в передачі теплоти від більш нагрітих до менш нагрітих частин системи. У фононній моделі твердого тіла передача теплової енергіїї здійснюється фононами. Чим більша температура тим більша енергія і концентрація фононів. За рахунок наявності градієнта концентрації відбувається „дифузія” фононів у напрямку зменшення температури, тобто в напрямку зменшення енргії фононів. Ангармонічний характер коливань атомів твердого тіла являється причиною взаємодії одна з одною негармонічних пружніх хвиль. Або другими словами, фонони розсіюються на фононах аналогично зіткненню між молекулами газу. Фонон-фононна взаємодія викликає появу так званого теплового опору, і чим він більший, тим гірше передається тепло. За відсутності такої взаємодії тепло передавалося б із швидкістю звуку.

Знайдемо коефіцієнт теплопровідності і проаналізуємо його залежність від температури, скориставшись аналогією фононної моделі твердого тіла і молекулярного газу. Рівняння теплопровідності має вигляд (див.Ч1, розд.6.12)

, (3.22)

де q – теплова енергія, яка переноситься за одиницю часу через одиничну площу, перпендикулярну до напрямку градієнта температури , ΔS – площа, χ – коефіцієнт теплопровідності

. (3.23)

Тут: μ – моларна маса, ρ – густина, υ – швидкість руху фононів, тобто швидкість звуку, λ_Ф – довжина вільного пробігу фононів, С – молярна теплоємність твердого тіла. Із усіх цих величин залежними від температури є теплоємність і довжина вільного пробігу, яка, подібно до вільного пробігу молекул газу, обернено пропорційна концентрації фононів.

Таким чином, . (3.24)

Область високих температур Т>>θ_D. У цій області енергія фононів досягає свого максимального значення kθ_D. Енергію гратки можна знайти як енергію усіх фононів, а враховуючи (3.11), можна записати

, звідки (3.25)

концентрація фононів пропорційна температурі. Теплоємність, згідно з (3.12), не залежить від температури. Таким чином, одержуємо, що коефіцієнт теплопровідності обернено пропорційний температурі рис. 3.7.

В області низьких температур Т<θ_D енергія гратки, згідно з (3.13) пропорційна Т⁴ , а енергія фононів Е_ф = kT пропорційна температурі. Тому концентрація фононів пропорційна Т³. Теплоємність також ~ Т³. Тому коефіцієнт теплопровідності від температури не залежить.

В області наднизьких температур Т<<θ_D концентрація фононів стає настільки малою, що вони уже між собою не взаємодіють, а розсіюються тільки на поверхні кристалу. (Цей стан аналогічний стану вакууму для газів). Теплоємність у цій області, а отже і коефіцієнт теплопровідності ~ Т³.

10^-4 ÷ 10^-5 К^-1.

3. Теплопровідність електронного газу (металів)

Електронна складова теплопровідності в металах характеризується коефіцієнтом теплопровідності

. (3.26)

Тут - швидкість теплового руху електронів, яка відповідає енергії Фермі і від температури не залежить. Тому . Теплоємність С_е пропорційна температурі ~ Т (див.(3.14)). Довжина вільного пробігу електронів визначається розсіюванням їх на фононах і на домішкових атомах.

В області високих температур Т>>θ_D основним механізмом розсіювання електронів є їхня взаємодія з фононами, концентрація яких n_ф ~ Т. А так як λ_е ~ 1/n_ф, то λ_е ~ 1/Т. С_е ~ Т. Тому коефіцієнт теплопровідності χ_е ~ Т⁰ від температури не залежить рис.3.8.

В області низьких температур Т<θ_D концентрація фононів n_ф ~ Т³. Тому λ_е ~ 1/Т³, а χ_е ~ Т^-2.

В області наднизьких температур Т<<θ_D концентрація фононів стає настільки малою що електрони розсіюються на домішкових атомах. А так як концентрація останніх від температури не залежить, то і довжина вільного пробігу електронів перестає залежати від температури. Тому коефіцієнт теплопровідності χ_е ~ С_е ~ Т.

Вияснимо, який механізм теплопровідності металів домінуючий: фононний чи електронний? Для цього оцінимо відношення коефіцієнтів теплопровідності із формул (3.23) і (3.26)

. (3.27)

Приймемо такі числові значення: , відоме по експериментальним вимірюванням питомої електропровідності, (див. розділ 3.4), , міжатомна відстань, закон Дюлонга і Пті. Одержуємо

.

Отже теплопровідність металів в основному зумовлена електронами.