Материал: Chast1giper

3.5 Сили пружності. Закон Гука для деформації розтягування (стискування)

Деформацією називається зміна форми, або розмірів тіла під дією зовнішніх сил. Розрізняють два ідеальних види деформацій: абсолютно пружні і абсолютно пластичні. При абсолютно пружній деформації форма і розміри тіла повністю відтворюються після припинення дії зовнішньої сили. При абсолютно пластичній, навпаки, форма і розмір тіла після припинення дії сили повністю зберігають набутий при деформації стан.

Сили, які виникають при пружних деформаціях, називаються пружними силами. Деформації бувають: розтягування (стискування); згинання; закручування; зсуву. Різні види деформацій можна звести до двох основних: розтягування (стискування) і зсув.

Розглянемо спочатку деформацію розтягування (стискування). Англійський фізик Р.Гук у 1660 році експериментально встановив закон, який носить його ім’я: при малих пружних деформаціях сила пружності пропорційна величині деформації

, (3.6)

k – коефіцієнт жорсткості, - величина деформації. Знак (-) мінус вказує, що сила пружності направлена в сторону, протилежну деформації, тобто має такий напрямок, щоб зменшити деформацію.

Нехай стержень довжиною ℓ площею перерізу S і поперечним розміром d закріплений за один кінець, а до другого прикладена розтягуюча зовнішня сила (рис.3.5). Внаслідок цього довжина стержня збільшується на величину ∆ℓ, а поперечний розмір зменшується на ∆d. Виникає пружна сила . Експерименти показують, що абсолютне видовження ∆ℓ прямо пропорційне силі , довжині стержня ℓ і обернено пропорційне площі перерізу S . (3.7)

Е – модуль пружності, або модуль Юнга, вимірюється в Н/м². Він характеризує пружні властивості матеріалу і являється величиною сталою для кожного матеріалу.

Відношення абсолютної деформації ∆ℓ до початкового розміру

називається відносною деформацією , величина безрозмірна.

Відношення сили F до площі поперечного перерізу S називається механічною напругою , вимірюється в Н/м². Рівняння (3.7) закону Гука приймає вид

. (3.8)

Механічна напруга пропорційна відносній деформації.

З’ясуємо фізичний зміст модуля Юнга Е. При ε = 1, тобто коли ∆ℓ = ℓ, Е = σ. Отже, модуль Юнга, це така механічна напруга, при якій довжина стержня подвоїться. Значення модуля Юнга можна знайти в довідникових таблицях.

Відношення зміни поперечного розміру ∆d до початкового значення d, тобто відносна зміна поперечного розміру, називається коефіцієнтом поперечного стискування .

Відношення коефіцієнта поперечного стискування ε_п до відносного видовження ε називається коефіцієнтом Пуассона

. Він також являється величиною сталою для кожного матеріалу і разом з модулем Юнга повністю характеризує пружні властивості речовини.

3.6 Закон Гука для деформації зсуву

Деформація зсуву виникає під дією сколюючої зовнішньої сили F, яка паралельна закріпленій площині (рис.3.6). Виникає пружна сила F_пр, яка паралельна площинам зсув і протилежна зовнішній силі. Експерименти показують, що абсолютний зсув ∆а прямо пропорційний зовнішній силі F, відстані ℓ між площинами ковзання і обернено пропорційний площі S площин ковзання

. (3.9)

G – модуль зсуву.

Відношення сколюючої сили до площі називається сколюючою механічною напругою, відношення абсолютного зсуву до відстані між площинами ковзання називається відносним зсувом . Отже, закон Гука для деформації зсуву прийме вид

. (3.10)

Сколююча напруга пропорційна відносному зсуву.

Модуль зсуву G – це така сколююча механічна напруга, при якій відносний зсув дорівнює 1, тобто . Це означає, що кут зсуву θ = 45^о. Модуль зсуву зв’язаний з модулем Юнга і коефіцієнтом Пуассона співвідношенням

. (3.11)

3.7 Сили тертя. Сухе тертя. Сили тертя спокою, ковзання, кочення

Сили, що виникають при рухові одного тіла по поверхні другого, називаються силами зовнішнього тертя, а сили, які виникають при відносному русі шарів речовини, називаються силами внутрішнього тертя. Будемо спочатку розглядати зовнішнє сухе (без змащування рідиною контактуючих поверхонь) тертя, яке буває трьох видів: тертя спокою; тертя ковзання; тертя кочення.

Сила тертя спокою виникає між контактуючими поверхнями тіл без їх відносного руху. Вона виникає за рахунок сил міжмолекулярної взаємодії і за рахунок зачеплення мікронерів-ностей (рис.3.7) і їх деформації. мікро-нерівності зазнають деформації згинання, виникають пружні сили, які і зрівноважують зовнішню, паралельну до поверхонь силу F_τ. Наглядно картину контакту моделюють дві щітки, вставлені ворсом одна в іншу (рис 3.8). У відповідності з першим законом Ньютона тіло не рухається, коли рівнодіюча сил дорівнює нулю. Тому в загальному випадку сила тертя спокою дорівнює зовнішній силі, яка направлена паралельно контактуючим поверхням і протилежна їй за напрямком,

. (3.12)

Але сила тертя спокою не може зростати до нескінченності при зростанні сили F_τ. В деякий момент тіло прийде в рух. В момент перед початком руху сила тертя спокою досягає свого максимального значення

, (3.13)

яке дорівнює добутку коефіцієнта тертя спокою k_сп на силу нормального тиску N. Вести мову про силу тертя спокою втрачає сенс. Виникає сила тертя ковзання.

Сила тертя ковзання має таку ж природу, як і тертя спокою. Але при відносному русі нерівності не встигають глибоко зачепитись між собою, а як би пролітають одна над іншою. Тому сила тертя ковзання менша від сили тертя спокою. Але при великих швидкостях відносного руху нерівності починають руйнуватись, на що необхідно затратити певну енергію. Тому сила тертя ковзання зростає, і може навіть стати більшою, ніж сила тертя спокою (рис.3.9). Сила терта ковзання завжди дорівнює добуткові коефіцієнта тертя ковзання k і сили нормального тиску N

. (3.14)

Сила тертя кочення має іншу природу, ніж дві попередні.

Коли колесо не рухається, картина деформації поверхонь симетрична відносно верти-кального діаметра (рис.3.10,а). Рівнодіюча сила реакції N проходить через центр колеса. Тому її момент дорівнює нулю. При рухові колеса попереду виникає деформаційний горб, а за колесом поверхня не встигає відновити свою форму (рис.3.10,б) за рахунок так званого явища пружної післядії ( для відтворення форми після деформації необхідний деякий час). Рівнодіюча сила реакції N проходить попереду центра колеса. Виникає момент цієї сили, який і гальмує рух колеса. Горизонтальна складова сили реакції і є сила тертя кочення, яка обернено пропорційна радіусу колеса

. (3.15)

3.8 Сила тяжіння. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле та його напруженість

Одним із фундаментальних видів взаємодії в природі є гравітаційна взаємодія. Закон гравітаційної взаємодії був сформульований І.Ньютоном у 1686 році: сила, з якою притягуються два тіла прямо пропорційна добуткові мас m₁ і m₂ цих тіл, обернено пропорційна квадрату відстані r між їх центрами мас і направлена по лінії, яка з’єднує центри мас тіл

. (3.16)

Гравітаційна стала γ = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг², яку вперше виміряв англ. фізик Г.Кавендіш у 1798 році. Така взаємодія тіл відбувається через особливу форму матерії – гравітаційне поле. Кожна маса утворює навколо себе гравітаційне поле, яке потім діє на іншу масу, поміщену в це поле. Кількісною силовою векторною характеристикою гравітаційного поля є його напруженість . Це сила, яка діє з боку поля на тіло одиничної маси m_o

. (3.17)

Вимірюється напруженість [G] = Н/кг =+(кг∙м)/(с²∙кг) = м/с² в одиницях прискорення. Дійсно, якщо знехтувати добовим обертанням Землі, гравітаційну силу можна прирівняти силі тяжіння mg. Одержуємо

. (3.18)

Отже, напруженість гравітаційного поля Землі - це прискорення вільного падіння.

3.9 Сили в неінерціальних системах відліку. Сили інерції

Неінерціальними називаються системи, які рухаються з прискоренням відносно інерціальних систем. Закони Ньютона, на основі яких вивчається рух тіл, справедливі тільки для інерціальних систем. Щоб розширити можливість застосування математичного апарату вивчення руху тіл в інерціальних системах (див. розд. 3.3) до неінерціальних, вводяться особливі сили, сили інерції, виникнення яких зумовлене неінерціальним характером систем, а не взаємодією тіл, або полів.

Розрізняють неінерціальні системи, які рухаються відносно інерціальних поступально, і системи, що обертаються, навіть і рівномірно, так як при цьому виникає доцентрове (нормальне) прискорення.

Розглянемо спочатку сили інерції в системах, які рухаються поступально з певним прискоренням . Нехай в інерціальній системі С може поступально з прискоренням рухатись вагон, з яким зв’язана неінерціальна система С^I. на горизонтальній підлозі вагона без тертя лежить куля масою m (рис.3.12). Коли вагон не рухається, обидві системи інерціальні. Спостерігачі С і С^I пояснюють рівновагу кулі першим законом Ньютона, тобто тим, що рівнодіюча сил тяжіння mg і сили N реакції підлоги дорівнює нулю.

Коли вагон рухається з прискоренням, поводження кулі для спостерігачів різне. Спостерігач С бачить, що вагон рухається, а куля, із-за відсутності тертя залишається в його системі нерухомою знову таки у відповідності з першим законом Ньютона.

Спостерігач С^I бачить, що дія сторонніх сил на кулю не змінилась, але вона почала рухатись на нього з прискоренням

Тоді він робить закономірний висновок, що на кулю почала діяти деяка сила, яка і надає кулі цього прискорення. Причому поява цієї сили викликана не дією на кулю якихось інших тіл, а є результатом неінерціального характеру системи С^I. Ця сила називається силою інерції і дорівнює . (3.19)

Таким чином, в неінерціальних системах на тіла окрім ньютонівських сил діють іще й сили інерції. Тому другий закон Ньютона в цих системах відліку записується так

. (3.20)

Приклад. До стелі ліфта підвішений вантаж масою m. Ліфт опускається вертикально вниз з прискоренням . Знайти силу натягу нитки.

Розв’язок в інерціальній системі спостерігачем С.

Другий закон Ньютона в скалярній формі в проекції на вертикальну вісь має вид

.