Материал: 730

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Найти функцию y(x), удовлетворяющую уравнению
y’ = f(x,y)	(6.3)

для x [a; b] при заданном начальном условии y(a) = y0.

Для получения таблицы значений искомой функции y(x) выбирается шаг h и вычисляются значения аргумента xi=x0+ih (i=0, 1, …, n). Затем последовательно находятся yi, близкие к значениям точного решения в точках xi (табл. 6.1).

			Таблица 6.1
	x		Y
	x0		y0
	x1		y1
	…		…
	xn		yn	И
	xn		yn
Если на плоскости построить точки с координатами из таблицы и
соединить их отрезками, то			Д
соединить их отрезками, то		получится так называемая ломаная

Эйлера (рис. 6.1). Она будет приближением интегральной кривой y(x).

		А
	б
и
С

Рис. 6.1. Ломаная Эйлера

6.1. Метод Эйлера (метод Рунге–Кутта 1-го порядка)

Суть метода заключается в том, что искомую интегральную кривую y=f(x) заменяют ломаной М0, М1, М2 …, звенья которой являются касательными к интегральной кривой.

Разобьем [a; b] на n равных частей – элементарных отрезков, x0, x1,…, xn будем называть узлами сетки, h = (b– a)/n – шаг сетки (рис.

6.2).

Рис. 6.2. Геометрический смысл метода Эйлера

Заменим в уравнении (6.1) Аy’ в точке xi её приближенной оценкой

– отношением

пр ращен й (это

следует из

определения

производной):

yi′ ≈ ∆yi =

yi+1 − yi

xi+1 − xi

∆xi

Тогда получаем:

yi+1 − yi

≈ f (Сx , y ).

i i

Отсюда формула Эйлера:

где i =

yi+1 ≈ yi + h f (xi , yi ) ,

(6.4)

0, 1, …., n-

1 – номер узла.

Зная y0

в точке x0 (начальное условие) можно найти y1, затем,

используя уже известные значения x1

и y1, вычислить x2 и y2 и так

далее.

6.2. Метод Рунге–Кутта 4-го порядка

На практике наибольшее распространение получил метод Рунге– Кутта 4-го порядка, в котором усреднение проводится по трём точкам, формула Эйлера на каждом отрезке используется 4 раза: в начале отрезка, дважды в его середине и в конце отрезка.

Расчетные формулы метода для дифференциального уравнения (6.3) имеют вид

yi+1 = yi

+ h (c0 + 2с1 + 2с2 + с3 ) ,

(6.5)

где i = 0, 1, …., n-1 –

номер узла, у0 = у(х0) – начальное условие,

= f (x

, y

), c

f (x

+ h

, y

+ h

c0 ),

= f (x

+ h

, y

+h c1 ), c

= f (x

+h, y

+h c

′

7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

′

Дана система дифференциальных уравнений:

y′

= F

(x,

y , y

,...., y

= F2 (x, y1, y2 ,...., yn ),

...

= Fn (x, y1, y2 ,...., yn ).

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны

= a, y1(x0) = y1(0), y2(x0) = y2(0), …, yn(x0) =

начальные условия при

= yn(0). Требуется найти

y1(x),

y2(x),…,

yn(x), проходящие через

заданные точки: (x0,y1(0)), (x0,y2(0)), …, (x0,yn(0)).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно

обобщить и на их системы.

Метод Эйлера:

y j(i+1) = y j(i) + h Fj (xi , y1(i) , y2(i) ,..., yn(i) ) .

Метод Рунге–Кутта для системы из двух уравнений с двумя

неизвестными:

y′

= f1 (x, y, z),

z′ = f2 (x, y, z).

Формулы имеют вид

i+1

= y

+2k

);

i+1

= z

+ 1

+2m

+m ),

где

k0 = f1(xi ,yi ,zi );

f (x

+ h

h k0

h m0

);

1 i

f (x

+ h

h k1

h m1

);

1 i

k3 = f1(xi

+ h,yi

+ h k2 ,zi

+ h m2 );

m0 = f2(xi ,yi ,zi );

f (x

+ h

h k0

h m0

);

f (x

+ h

h k1

h m1

);

m3 = f2(xi

+h,yi

+h k2 ,zi

+h m2 );

i = 0,1,2...

8. Краевая задача

Примером краевой задачи является двухточечная краевая задача

для ОДУ уравнения второго порядка

′′

′

f (x, y, y )

с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a; b]: y(a)=y0,
y(b)=y1.	С
Следует	найти такое решение y(x) на отрезке [a; b], которое

принимает на концах отрезка значения y0, y1.

Если функция f(x, y, y/) линейна по аргументам y, y/, то получаем линейную краевую задачу.

8. 1. Метод стрельбы (пристрелки)

Суть метода заключается в многократном решении задачи Коши для приближенного нахождения решения краевой задачи.

		Пусть надо решить краевую задачу на отрезке [a; b]. Вместо
исходной задачи формулируется задача Коши			/	с уравнением
y	′′	′		(a)=α , где α	–
		= f (x, y, y ) и начальными условиями y(a)=y0, y

некоторое значение угла наклона касательной к искомой интегральной кривой в точке x=a.

Зададим некоторое начальное значение α0 , после чего решим

каким-либо численным методом (методом Эйлера или методом Рунге-Кутта) задачу Коши.

Пусть y = y0 (x,α0 ) решение задачи на интервале [a; b], тогда сравнивая значение функции y0 (b,α0 ) со значением y1 в правом

конце отрезка, можно получить информацию для корректировки угла наклона касательной к решению в левом конце отрезка.

	И
Выбираем новое значение	α1, получаем другое решение со

значением y1(b,α1) на правом конце отрезка и т.д., пока очередное

решение не совпадет со значением y .

То есть решение исходной задачи сводится к нахождению корня

уравнения Ф(α) =0, где Ф(α) = y(b, y0 ,α) − y1. Методы решения этого уравнения аналогичны методам решения нелинейных уравнений.

1 Д

Угол стрельбы выбирается из условия равенства значения
		б		y(b, α) значению	y1 с
интегральной кривой на правой границе
заданной точностью ε.			А
\|y(b, α) – y1\|≤ ε.	и
Интегральная кр вая, полученная из решения задачи Коши с
С

углом, близким к этому значен ю, и будет решением краевой задачи с точностью ε.

9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных

В реальных физических процессах искомая функция зависит от нескольких переменных, а это приводит к уравнениям в частных производных от искомой функции. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в этом случае для выбора одного конкретного решения, удовлетворяющего уравнению в частных производных, кроме начальных условий, необходимо задавать дополнительные условия (т.е. краевые условия). Чаще всего такие задачи на практике не имеют аналитического решения и приходится использовать численные методы их решения, в том числе

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET