Материал: 730

7. Решение задачи на ЭВМ и анализ результатов. При этом обычно выполняется многократное решение задачи на ЭВМ для различных наборов исходных данных. Получаемые результаты интерпретируются и анализируются специалистом или пользователем, поставившим задачу.

Существуют разные виды численных методов:

1.Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.

2.Итерационные – точное решение может быть получено теоретически в виде предела бесконечной сходящейся последовательности вычислений.

3.Вероятностные – методы случайного поиска решения

(угадывания).

Все виды численных методов позволяютИполучить только приближенное решение задачи, т.е. численное решение всегда содержит погрешность. Д

Точность решения задачи оценивается абсолютной или

относительной погрешностью. Абсолютная погрешность А∆бx* − x

ВозникаетСв результате допущений, принятых при получении

модели. Реальность всегда сложнее любой модели, поэтому этот источник погрешности всегда влияет на численное решение. Величина этой погрешности определяется сравнением экспериментальных данных с результатами расчетов по модели (оценивается адекватность модели объекту).

2.Погрешность исходных данных. Зависит от точности измерения параметров, используемых в модели. Любые измерения приближенны, поэтому и этот источник всегда влияет на решение.

3.Погрешность метода решения задачи. Возникает в результате применения итерационного или вероятностного метода решения. Эти

методы позволяют получить точное решение только в результате

6

бесконечной последовательности действий. Поэтому для получения приближенного решения бесконечный процесс прерывают при достижении требуемой точности решения.

4. Погрешность округления. Возникает в результате проведения вычислений с конечным числом значащих цифр.

Погрешность элементарных арифметических действий изучается в теории погрешности. Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.

Есть случайные и систематические источники погрешности округления.

Случайные источники обычно компенсируют друг друга. Систематические источники вызывают накопление погрешности

неустранимой Спогрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи.

2. Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности.

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:

1. Решить задачу различными численными методами и результаты сравнить.

2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения является неустойчивым – выбрать другой.

7

2. Решение систем линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными – это система уравнений вида

а11x1+а12x2+…+ а1nxn= b1; а21x1+а22x2+…+ а2nxn= b2;

………..

am1x1+аn2x2+…+ аmnxn= bm.

Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, которые надо определить, a11, a12, …, amn – коэффициенты системы, b1, b2, … bm – свободные члены.

Система называется однородной, если все её свободные члены

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система может иметь одно или более решений. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы

решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как А Х=В, где

a12 ... a1n a22 ... a2n

... ... ...

an2 ... ann

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на

8

использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

2.1. Метод Гаусса

Алгоритм решения методом Гаусса подразделяется на два этапа.

1.На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме либо устанавливают, что система несовместна. А именно среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после

перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элементаИкаждой из этих строк

кпервому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под

ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбецДмысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементовАпервого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию. б

2.На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которогоизаключается в том, чтобы выразить всеединственное Срешение системы линейных уравнений. Эта процедура

начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

2.2. Метод Крамера

Метод Крамера – способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной

9

матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными решение вычисляется по формуле

соответствующей вспомогательной матрицы, полученной из главной матрицы путем замены i-го столбца на вектор-столбец свободных членов системы.

2.3. Матричный метод

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Систему записывают в матричной форме A X = B, а затем находят

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значен й, сходящихся к точному решению системы. Для определенности огран ч мся системой из четырех уравнений с

Разрешим первое уравнение системы относительно х1, второе уравнение относительно х2 и т.д. Тогда систему можно переписать в виде:

x1 =... a12 x2 +a13 x3 +a14 x4 +a15 ,x2 = a21x1 +...+a23 x3 +a24 x4 +a25 ,x3 = a31x1 +a32 x2 +...+a34 x4 +a35 ,

x4 = a41x1 +a42 x2 +a43 x3 +...+a45.

10