Материал: 730

для метода Гаусса.

16

4. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Численные методы используются и для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.

4.1. Решение нелинейных уравнений

Уравнение с одним неизвестным можно записать в каноническом виде

В зависимости от того, какие функции входят в уравнение, разделяют два больших класса уравнений – алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень. К

если установлено, что искомыйбАкорень лежит внутри интервала [a; b]

и длина интервала (b-a)=ε, то за при лиженное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала.

разбивается наСдва иэтапа: отделение корней и уточнение корней до заданной степени точности. Рассмотрим эти этапы подробнее.

Процесс нахожден я приближенных значений корней

4.1.1. Отделение корней

Любой корень уравнения считается отделенным на отрезке [a; b], если на этом отрезке исследуемое уравнение не имеет других корней.

Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений х на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень. Эту операцию можно провести двумя способами – графическим и табличным. Если функция f(x) такова, что можно легко построить качественный график ее изменения, то по этому графику достаточно грубо находятся два числа, между которыми лежит одна точка пересечения функции с осью абсцисс. Иногда с

17

целью облегчения построения целесообразно представить исходное каноническое уравнение в виде f1(x) = f2(x), затем построить графики этих функций, причем абсциссы пересечения графиков и служат корнями данного уравнения.

При наличии компьютера наиболее распространен табличный способ отделения корней. Он заключается в табулировании функции

f(x) при изменении х от некоторого значения хнач до значения хкон с шагом dx. Задача заключается в том, чтобы найти в этой таблице

такие два смежных значения х, для которых функция имеет разные знаки. Предположим, что такие два значения a и b найдены, т.е. f(a)·f(b)<0. Тогда, если функция f(x) непрерывна, согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a; b] существует точка с, в которой

итерирующему виду х = g(х);

б) вычислительная итерирующая процедура уточнения корня. Перейти от канонического вида уравнения к итерирующему

можно различными способами, важно лишь чтобы при этом выполнялось достаточное условие сходимости метода: g′(x) <1 на

[a; b], т.е. модуль первой производной итерирующей функции должен быть меньше 1 на интервале [a; b]. Причем чем меньше этот модуль, тем больше скорость сходимости.

Вычислительная процедура метода состоит в следующем. Выбираем начальное приближение, обычно равное х0 = (a+b)/2. Затем

вычислим х1=g(х0) и D=х1–х0. Если модуль D<=ε, то х1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем х2=g(х1) и новое значение D=х2–х1. Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем

18

итерации. Если g(х) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(х) зависит характер сходимости: при g’(х)>0 сходимость будет монотонной,

т.е. с увеличением итераций D будет приближаться к ε монотонно (не меняя знака), в то время как при g’(х)<0 сходимость будет

колебательной, т.е. D будет приближаться к ε по модулю, меняя знак на каждой итерации.

4.1.3. Уточнение корней: метод Ньютона

Для уточнения корня методом Ньютона должно быть дано:

3) число ε – заданная точность получения корня;

4) функция f(х) должна быть дважды дифференцируемой, причем формулы f’(х) и f”(х) должны быть известны.

приближения выб рают обычно или a, или b, в зависимости от того, кто из них соответствует формуле выбора х0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (хi; f(хi)) провести касательную к кривой f(х), то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью ОХ и есть очередное приближение корня хi+1.

Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(х) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(х)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число λ, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по х. Тогда будем иметь

х = g(х) = х+λ·f(х).

19

Дифференцируя g(х), получим g’(х)=1 + λ f’(х). Из достаточного условия сходимости метода итераций g′(x) <1 потребуем, чтобы на

i-м шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. g′(x) = 0 .

Тогда λ =-1/ f’(хi), и мы пришли к методу Ньютона.

Вычислительная процедура метода состоит в следующем. Выбираем начальное приближение х0, обычно равное a или b. Затем

вычислим X1= X0 - f(X0)/f’(X0) и D=х1-х0. Если модуль D<=ε, то х1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй

итерации: вычисляем х2 и новое значение D=х2-х1. Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если х0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется

4.2. Решение систем нелинейных уравнений

формализованныхСпроцедур выбора начальных приближений нет.

Только в случае системы второго порядка можно предложить такую процедуру, сравнительно легко реализующуюся в Excel.

4.2.1. Выбор начальных приближений

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка

f1(x1,x2) = 0; (4.2) f2(x1,x2) = 0.

Зададим несколько значений x1 в диапазоне от хнач до хкон с шагом dx. Подставим сначала в f1(x1,x2)=0 значение хнач. Тогда это уравнение

20