Материал: 730

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

становится одномерным, зависящим только от х2. То же самое можно проделать и для всех остальных значений х1. В результате мы будем иметь набор значений х1 и х2, для которых f1(x1,x2) = 0. Далее, для того же самого набора значений х1, используя подпрограмму Подбор параметра в Excel, найдем значения х2, для которых f2(x1,x2) = 0. Если теперь построить с помощью Excel графики изменения х2 в зависимости от х1 для двух этих случаев, то на пересечении этих графиков можно приближенно определить значения начальных приближений по х1 и х2. Если графики не пересекаются, следует задать новый диапазон изменения х1 и повторить процедуру сначала.

4.2.2. Метод Ньютона

Пусть задана система нелинейных уравненийИ2-го порядка (4.2), причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальныхДприближений х10 и х20, а также

точность вычислений значений корней ε. Функции должны быть дифференцируемы и формулы частных производных тоже должны быть известны.

Исходную систему можно записать в матричном виде

F(X) = 0,

где X – двумерный вектор-стол ец с компонентами {x1,x2}, а F –
	и
двумерный вектор-функц я. АМетод Ньютона – это			метод
последовательных пр л жен й по формуле
С		бХi+1 = Xi – Pi,	(4.3)
где Pi = Ji-1 Fi ;
i – номер итерации, (i = 0, 1, 2,...);

Ji-1 – матрица, обратная матрице J на i-й итерации,

J – матрица Якоби, т.е. матрица первых частных производных:

df1/dx1	df1/dx2
df2/dx1	df2/dx2.

Таким образом на каждой итерации вычисляется вектор Р, его

компоненты сравниваются с заданной погрешностью ε по формуле

D=(p1i2+p2i2)(1/2),

(4.4)

причем когда D<=ε, вычисления прекращаются и вектор Хi считается решением. В противном случае вычисляются новые значения Х и выполняется следующая итерация.

Достаточным условием сходимости метода служит неособенность матрицы Якоби, т.е. ее определитель (якобиан) не должен быть равным нулю на любой итерации.

4.2.3. Метод итераций

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка (4.2), причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также точность вычислений значений корней ε.

Для применения итераций исходная система приводится к виду

х1 = g1(x1,x2);

x2 = g2(x1,x2),

где функции

gi называются итерирующими. Алгоритм решения

задается итерирующими формулами

х1i+1 = g1(x1i,x2i);

x2i+1 = g2(x1i,x2i),

= 0, 1, 2,...

ля прекращения итераций

где i –

номер итерации, i

вычисляются значения

p1i+1

= х1i+1

- x1i;

p2i+1

= x2i+1

- x2i;

D=(p1i2+p2i2)(1/2)

и D сравнивается с ε. Итерац Аи продолжаются до тех пор, пока не

выполнится услов е D<=ε.

Что ы процесс вычислений сходился к

достаточного условия

этому условию, нужно выполнение

сходимости:

dg1

<1,

dg2

<1.

5. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента получена таблица некоторой зависимости F(x)

хi	x1	х2	x3	…	хn
F(x)	у1	у2	У3	…	уn

Требуется найти функцию вида y=f(x), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения, наиболее близкие к табличным значениям у1,

у2,…, уп.

Такую задачу называют задачей аппроксимации, формулу называют эмпирической формулой или уравнением регрессии у на х, а саму функцию называют приближающей функцией.

На практике эту приближающую функцию F(x) находят следующим образом. По таблице строят точечный график функции F(x), по которому устанавливают вид приближающей функции из числа известных.

Если вид приближающей функции установлен, то задача сводится к отысканию значений параметров. Их можно вычислить по методу наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем.

Пусть требуется найти приближающую функцию, например с двумя параметрами у=F(х, а, b).

Для хi, (где i = 1, 2, ..., n) из таблицы эта функция примет
значения yi =F(х,	а, b), которые должны как можно меньше
n	А
отличаться от заданных (табличных) значенийИуi , т.е. разность yi - уi

должна быть близка к нулю. Поэтому сумма квадратов разностей со-
	б
ответствующих значений функций ( yД- уi) также должна принимать
минимальное значение		i
минимальное значение
∑2(yi − F(xi ,a,b)) Fa′(xi ,a,b) = 0;
			(5.1)
i=n1			(5.1)
С
∑2(yi − F(xi ,a,b)) Fb′(xi ,a,b) = 0.

i=1 и

Решив эту систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получим значения параметров а, b, следовательно, получим конкретный вид приближающей функции F(x, а, b).

5.1. Линейная регрессия

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линейной функции F(x, a, b) = ax+b.

Тогда система (5.1) примет вид

∑n (yi −axi −b) xi = 0;

i=n1

∑(yi −axi −b) 1 = 0.i=1

После несложных преобразований её можно привести к виду

∑xi yi = a∑xi2				+b∑xi ;
	n		n	n
	i=1		i=1	i=1
	i=1		i=1	i=1
		n	n
		∑yi = a∑xi		+bn.
		i=1	i=1

Решив систему, получим значения параметров а и b:

	n			n			n
a =	n ∑ yi xi − ∑ yi						∑xi		;
a =	i=1			i=1		i=1			;
	n		2	n			n
	n ∑ x		2	− ∑x		∑x
	i=1	i		i=1	i	i	=1	i
	i=1			i=1		i	=1
	n			n
b = (∑yi		−a∑xi ) / n.
	i=1			i=1						И
Коэффициент							корреляции			И
Коэффициент							корреляции			показывает силу линейной

зависимости между зависимой переменной х и независимой переменной у.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1

до + 1.

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные

Ддруг

полностью

независимы

от

друга.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

∑ y

А∑x

∑x y

−

(5.2)

∑x

∑ y

∑x 2 −

∑ y

−

5.2. Показательная регрессионная модель

Пусть

требуется

найти

приближающую

функцию

в виде

показательной функции y=b ax.

Предполагая, что в исходной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство. С помощью математических тождественных преобразований приведем

модель к линейному виду. lny=lnb+ lnax;

lny=lnb+ x lna.

Делаем замену:

Y=lny;

B=lnb;

A=lna.

Получаем линейную регрессионную модель Y=B+A x.

Вычисляем А и В по формулам линейной регрессии, а затем делаем обратное выражение а=exp(A), b=exp(B).

6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

′

′′

(n)

) =

(6.1)

F(x, y, y , y

,...y

где

n – наивысший порядок производной, определяет

порядок

уравнения.

Решением ОДУ называется функция y(x), которая после ее

подстановки в уравнение (6.1) обращает его в тождество.

Общее решение ОДУ имеет вид

(6.2)

y = y(x,C1,C2 ,...Cn )

где C1, C2, …, Cn – постоянные интегрирования.

Частное

решение получается

из общего при конкретных

значениях Ci, i =1,n . Эти значения определяются из n дополнительных

условий. В

качестве

таких условий

могут быть заданы значения

функции и ее про зводных при некоторых значениях аргумента x.

В зависимости от того, как заданы эти дополнительные условия,

выделяют 2 типа задач:

•

Задача Коши. Все условия заданы в одной,

начальной точке,

поэтому они называются начальными условиями.

•

Краевая задача. Условия заданы

в более чем одной точке,

обычно в начальнойСи конечной. Условия в этом случае называются

краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только

при решении ОДУ с порядком выше первого.

Методы их решения подразделяются на два класса:

1) аналитические методы, в которых решение получается в виде

аналитических функций;

2) численные

(приближенные)

методы,

где

искомые

интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши)

формулируется следующим образом:

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET