Материал: 730

Рис. 9.3. Схема узлов «крест»

И

Схема «крест» – явная устойчивая схема (малое изменение

входных данных ведет к малому изменению выходных данных).

Д

10. Численное интегрирование

a

А

Для вычисления точного значения определенного интеграла

б

используется формула Ньютона−Лейбница:

b

(10.1)

I = ∫ f (x)dx

= F(a) − F(b),

и

где F(a), F(b) −первоо разные функции f (x) .

С

ограниченное применение, т.к. не всякая

Эта формула меет

подынтегральная функц я

меет первообразную, а также невозможно

И

Рис. 10.1. Геометрический смысл определенного интеграла

Отрезок [a; b] делят на n частей с шагом интегрирования h = (b –

– a)/n .

Д

Площадь искомой криволинейной трапеции вычисляется как

сумма площадей (n-1), элементарных трапеции.

Численные методы интегрирования основаны на различных

способах вычисления этих элементарных площадей.

и

10.1. МетодАпрямоугольников

С

1. Формула левых прямоугольниковб

Суть метода левых прямоугольников заключается в том, что

подынтегральную функцию у=f(x) заменяют на каждом отрезке [xi;

xi+1] прямой y=f(xi). Площадь

i-й элементарной трапеции Si

b

f (x0 ) h + f (x1) h +... + f (xn−1) h ≈ h

n−1

S ≈ ∫

f (x)dx ≈

∑

f (xi ) (10.2)

a

i=0

Рис. 10.2. Формула левых прямоугольников

2. Формула правых прямоугольников

И

Суть метода правых прямоугольников заключается в том, что

подынтегральную функцию у=f(x) заменяют на каждом отрезке [xi;

xi+1] прямой y=f(xi+1). Площадь

i-й элементарной трапеции Si

Д

вычисляется по формуле (10.3) как площадь прямоугольника со

сторонами h=xi+1 – xi и f(xi+1) (рис. 10.3).

b

А

n

S ≈ ∫

f (x)dx ≈ f (x1) h + f (x2 )

h +... + f (xn ) h ≈ h ∑

f (xi ) (10.3)

a

б

i=1

и

С

b

f (x)dx ≈ h

n−1

f (x

+ h).

(10.4)

S ≈ ∫

∑

a

i=0

i

2

Суть метода заключается в том, что подынтегральную функцию

у=f(x) заменяют на каждом отрезкеА[xi; xi+1] прямой, проходящей через

точки (xi; f(xi)) и (xi+1; f(xi+1)). Криволинейная трапеция заменяется на

С

обычную трапецию (р с. б10.5), площадь которой может быть найдена

как произведение полусуммы оснований на высоту

иf (x ) + f (x

)

(10.5)

I =

i

i+1

h.

2

I = ∑Si ≈h (

f (a) + f (b) +∑ f (xi )).

(10.6)

n−1

n−1

i=0

2

i=1

одинаковых

отрезков n,

на

каждом

интервале

[xk+1–xk]

подынтегральная функция приближается

квадратичной параболой

y=aix2+bix+ci , проходящей

И

через

точки

(xk;

f(xk)), (xk+1;

f(xk+1)),

((xk+1+xk)/2; f(xk+1+xk)/2)) (рис. 10.6).

Д

aix2+bix+c

А

б

и

С

xi

xi+h/2

xi+1

Формула Симпсона имеет вид

h

n−1

n−1

h

I =

f (a) + f (b) + 2 ∑ f (xi ) + 4

∑

f (xi +

(10.7)

6

2

) .

i=1

i=0