Материал: 730

11. Задания для практических занятий

11.1. Решение систем линейных уравнений

Задание. Решить системы уравнений итерационными методами (итерация Якоби и Гаусса–Зейделя) с точностью ε=0,00001.

11.3. ПлохоСобусловленные системы линейных алгебраических

уравнений

Задание. Решить плохо обусловленные системы алгебраических уравнений различными методами.

41

11.4. Решение уравнений методом простой итерации

Задание:

1.Отделить корни уравнения таблично и графически:

•составить таблицу значений функции f(x);

•построить график функции (убедиться в наличии корней уравнения);

•в таблице выделить отрезки, на которых функция меняет знак.

2.Преобразовать уравнение к виду x=ϕ(x).

3.Вычислить значение ϕ’(x) на каждомИотрезке и проверить условие сходимости.

4.Уточнить корни уравнения наДкаждом отрезке с точностью

ε=0,0001.

1)х3 – 6x + 3 = 0, на отрезке [0; 1] с точностью =0,00005;

2)x + lnx – 3 = 0, на отрезкеб[0,1; 5];

3)2ex + 5x + 1 = 0, на отрезке [-4; 4];

4)e-x – x – 2 = 0, ина отрезке [-2; 2], замена вида x=-ln(x+2);

5)х3 – 4x –1 = 0, на отрезке [-0,5; 0] с точностью =0,0003;

6)x5 – 5x + 5 = 0, замена в да x=x – 0,01 f(x);

7)х3 – 3x +С1 = 0, на отрезке [0; 0,9] с точностью =0,0005.А

1.Построить график функции (тип – точечная).

2.Добавить на диаграмме линию тренда линейного типа.

3.Скопировать диаграмму и вставить 2 копии.

4.Изменить тип линии тренда: для первой копии – на степенной, для второй – на полиномиальный второй степени.

42

5.Сравнить величину R2 для каждой линии тренда (линейной, степенной, полиномиальной).

6.Получить уравнения регрессии с помощью линий тренда.

7.Получить уравнения регрессии с помощью сервиса «Поиск решений».

8.Получить уравнения регрессии с помощью соответствующих формул для вычисления параметров приближающих функций.

9.Вычислить для линейной зависимости коэффициент корреляции по формуле и с помощью встроенной функции Excel.

10.Построить на одной диаграмме графики трех полученных функций (вид – сглаженная линия без маркеров) и исходных данных из таблицы (вид – маркеры).

11.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание 1. Решить задачу Коши методом Эйлера:

1)y’ = yx2 + x3, y(0)=1, 0≤x≤1, h=0,1;

2)y’ = y + cosx, y(2)=2, 2≤x≤3, h=0,05;

3)y’ + y = x2, y(0)=2, 0≤x≤1, h=0,1;

4)y’ = 2y + 3x + 1, y(0)=0, 0≤x≤1, h=0,1;

43

5) y’ = x + siny, y(1)=1, 1≤x≤2, h=0,1.

Задание 2. Решить задачу Коши методом Рунге–Кутта 4 порядка:

1)y’ = x – 2sin(y), y(2)=1, 2≤x≤3, h=0,05;

2)y’ + 2y = x, y(0)=0, 0≤x≤1, h=0,1;

3)y’ – y = x, y(0)=1, 0≤x≤1, h=0,05;

4)y’ = x – y + 2, y(1)=0, 1≤x≤2, h=0,1;

5)y’ + cosx = 2y, y(1)=3, 1≤x≤2, h=0,1.

11.7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание. Решить систему дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом Рунге–Кутта и построить графики функций, h=0,1:

11.8. Решение краевой задачи

Задание. Решить краевую задачу для ОДУ второго порядка на соответствующем отрезке с точностью ε = 0,0001 и построить графики полученных функций:

1) y'' + (x – 1)y'+ 3,125y = 4x; y(0) = 1; y(1) = 1,368; [0; 1]; 2) y''+ xy'+ y = 2x; y(0) = 1; y(1) = 0; [0; 1];

3) х2y''– xy' = 3x3; y(1) = 2; y(2) = 9; [1; 2];

44

4)х2y'' – 2y = 0; y(1) = 0; y(2) = 4.5; [1, 2];

5)х2y'' + xy' – y = x2; y(1) = 1,333; y(3) = 3; [1; 3].

11.9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Задание 1. Методом сеток найти решение уравнения Лапласа в точках p, g, r, s квадрата при краевых условиях, указанных на

рис. 11.1, α=0,9, β=1,01.

0 17,98α 38,25α 50

u(0,t)=ϕ(t), u(1,t)=ψ(t)

при 0≤t≤0,5, 0≤x≤1. f(x)=(ax2+1,1)sinπx, ϕ(x)=0, ϕ(t)=ψ(t)=0.

11.10. Численное интегрирование

Задание 1. Вычислить интеграл 3∫sin xdx :

1

•по формуле Ньютона–Лейбница;

45