Материал: 6251

1− Φ(jω)= 1− K +Tjω .

1+Tjω

Подставляя соответствующие выражения в формулу (3.2.13), получим

Второе слагаемое полученной формулы уже было найдено (см. при-

мер 3.2.2) – оно равно K2N2T .

Подынтегральное выражение первого слагаемого приведем к таблич-

Далее по приложению 17 [8] для n=2 находим значение первого слагаемого формулы (3.2.14) и окончательно получаем выражение для среднего квадрата ошибки в виде

Оптимальное значение Kопт определим из выражения

176

∂ε2 = K −1 + NK = 0 ,

∂K T +1 T

откуда

T

Kопт = + ( +1) .

T N T

3 . 2 . 3 . Синтез статистически о птимально й систем ы

Перейдем теперь к более сложному случаю, когда не задан даже сам вид передаточной функции системы. Требуется по известным статистическим характеристикам полезного сигнала и помехи определить передаточную (или весовую) функцию оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки системы.

Эта задача впервые была поставлена и решена акад. А.Н. Колмогоровым для дискретной случайной последовательности. Для непрерывного случая эта задача была решена несколько другим путем американским ученым Н. Винером.

Пусть на вход системы с передаточной функцией W(jω) и соответствующей ей весовой функцией w(t) поступает задающее воздействие (полезный сигнал) g(t) и аддитивная помеха (шум) n(t). Сигнал и шум являются взаимно независимыми стационарными эргодическими стохастическими процессами с известными корреляционными функциями

Kg(τ) и Kn(τ) соответственно. Необходимо найти передаточную функцию оптимальной системы, обеспечивающей минимум среднего квадрата ошибки.

177

Будем вести речь о системе автоматического регулирования, то есть идеальная передаточная функция для задающего воздействия Wэт (jω)= 1.

Величина ошибки, следовательно, равна (с учетом формулы (3.2.1))

ε(t)= g(t)− ∞∫w(τ)(g(t − τ)+ n(t − τ))dτ .

0

Предполагая физическую реализуемость системы (тождественное равенство нулю весовой функции при отрицательном аргументе), нижний предел в последнем интеграле можно изменить на −∞.

Квадрат ошибки равен

ε2 (t)= g2 (t)− 2g(t)∞∫w(τ)(g(t − τ)+ n(t − τ))dτ +

−∞

∞ ∞

+∫ ∫w(τ)w(ν)(g(t − τ)+ n(t − τ))(g(t − ν)+ n(t − ν))dτdν.

−∞ −∞

Здесь произведение двух независимых интегралов представлено в виде двойного интеграла.

Проводя усреднение последнего выражения с учетом независимости g(t) и n(t), получим

где Kg+n (τ) − корреляционная функция суммы сигнала g(t) и помехи n(t)1

1 В случае независимости сигнала и помехи Kg+n(τ)=Kg(τ)+Kn(τ).

178

Минимизировать полученное выражение можно методами вариационного исчисления. Положим wопт (t) − весовая функция, минимизирующая выражение (3.2.15). Заменим в выражении (3.2.15) функцию w(t) функ-

цией wопт (t)+ λf (t), где λ − некоторое число, а f(t) − любая функция из того же класса функций, что и wопт (t)

где

∞∞

C = ∫ ∫ f (τ) f (ν)Kg+n (τ − ν)dτdν.

−∞ −∞

Величина ε2 будет минимальной при λ = 0 . Единственное значение

λ, отвечающие минимуму выражения (3.2.16), определяется из уравнения

∂ε2 = 0 = 2B + 2Cλ , ∂λ

откуда

λ = − B .

C

179

Из последнего выражения следует, что необходимым условием мини-

мума ε2 является B=0 или

∞ ∞ ∞

−∫ f (τ)Kg (τ)dτ + ∫ ∫ f (τ)wопт (ν)Kg+n (τ − ν)dτdν = 0 .

Полученное уравнение можно представить в виде

Поскольку последнее уравнение должно выполняться для произвольной функции f(t), нулю будет равно выражение в квадратной скобке

Уравнение (3.2.17) относится к классу интегральных уравнений Винера−Хопфа. Можно показать, что уравнение (3.2.17) является не

только необходимым, но и достаточным условием минимума ε2 . Решение этого уравнения дает оптимальную весовую функцию системы. Нелишне напомнить, что в уравнении (3.2.17) предполагается равенство нулю весовой функции при отрицательном аргументе.

Решить уравнение Винера−Хопфа (3.2.17) несложно, если отвлечься от условия физической реализуемости системы. Действительно, применив к уравнению (3.2.17) теорему о свертке во временной области1, получим

1 Изображение свёртки оригиналов равно произведению изображений.

180