Материал: 6251

Учитывая выражение (3.2.8), можно ввести понятие эквивалентной полосы пропускания для белого шума, имея в виду под последней полосу пропускания идеального фильтра низких частот Wэкв с единичным коэффициентом передачи (рис. 3.3), дающим на выходе такую же мощность сигнала, что и реальное звено с частотной передаточной функцией

W(jω).

Рис. 3.3. Эквивалентная полоса пропускания

Если на вход идеального фильтра поступит белый шум интенсивностью N ( Sx (ω)= N ), то мощность выходного сигнала будет, очевидно

Мощность сигнала на выходе реального звена в соответствии с формулой (3.2.8) равна

171

Сравнивая последнее соотношение с формулой (3.2.9), получаем выражение для эквивалентной полосы пропускания

3 . 2 . 2 . Определение статистически о птим альных парам етро в

Переходим к задаче синтеза. По сути, любая задача синтеза – это задача поиска оптимальной в определённом смысле системы. Поскольку в данном разделе речь идет о статистической динамике систем, критерии оптимальности также рассматриваются статистические. Наиболее распространенный критерий – это средний квадрат ошибки. Распространенность этого критерия связана, во-первых, с простотой соответствующих вычислений, а, во-вторых, с очевидным требованием повышения точности САУ. Вообще, кроме этого критерия в различных системах могут быть использованы и другие статистические критерии: отношение сигнал/шум, вероятность обнаружения цели, если речь идет об обнаружении сигнала цели, например, в радиолокационных системах ПВО, вероятность ложной тревоги в вышеупомянутых радиолокационных системах и др.

Начнем с простейшего случая параметрического синтеза, когда известна передаточная функция САУ, но не заданы или могут меняться параметры этой передаточной функции.

Пусть на входе простейшей одноконтурной системы с единичной обратной связью имеется задающее воздействие g(t) и аддитивная приведённая к входу помеха n(t) (верхняя ветвь схемы на рис. 3.4, а). Считаем

полезный сигнал и помеху случайными стационарными эргодическими 172

независимыми процессами с заданными спектральными плотностями. Идеальный сигнал yэт(t) получается после преобразования задающего полезного сигнала воображаемой идеальной системой с передаточной функцией Wэт (нижняя ветвь схемы на рис. 3.4, а). Разница между идеальной (требуемой) выходной величиной и реально получаемой величиной представляет собой ошибку.

Рис. 3.4. Формирование сигнала ошибки

Запишем выражение для ошибки в операторной форме

173

= G(s)(Wэт (s)− Φ(s))− N(s)Φ(s)= Εg (s)− Εn (s).

Структурная схема, построенная по выражению (3.2.11), приведена на рис. 3.4, б. Первое слагаемое в правой части формулы (3.2.11) это ошибка, обусловленная задающим воздействием, а второе – ошибка, связанная с помехой.

Вид эталонной передаточной функции зависит от решаемой задачи:

−для системы автоматического регулирования важна точная отработка задающего воздействия, поэтому Wэт (s)= 1 ,

−для системы связи допустима некоторая временная задержка и

Wэт (s)= Ke−τs ,

−для вычислительного устройства идеальная передаточная функция имеет вид в соответствии с выполняемой математической операцией,

В дальнейшем будем полагать, что рассматривается система автоматического регулирования, то есть Wэт (s)= 1 .

Ввиду независимости процессов g(t) и n(t) корреляционная функция ошибки Kε (τ) равна сумме корреляционных функций процессов

εg (t) и εn (t)

Kε (τ)= Kε g (τ)+ Kεn (τ),

174

и, следовательно, спектральная плотность Sε (ω) равна сумме соответствующих спектральных плотностей

Wэт (s)= 1 .

Средний квадрат ошибки найдём из формулы (3.2.12) по выражению (3.2.8)

Минимизируя средний квадрат ошибки по изменяемому параметру ak, например, используя необходимое условие минимума

∂ε2 (t) = 0 , ∂ak

можно определить оптимальные значения варьируемых параметров системы.