Материал: 6251

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Действительно, усреднив по времени t обе части выражения (3.2.1) и

учитывая, что усреднение − операция линейная, допускающая изменение

порядка интегрирования по t и по τ1, получим

∞

1 1

∫

x ∫

= lim

y(t)dt =

w(τ ) lim

x(t)dt dτ = m

w(τ )dτ . (3.2.2)

T →∞ 2T −T

Если интеграл в правой части выражения (3.2.2) конечен (нелишне вспомнить, что это является необходимым и достаточным условием устойчивости звена), то среднее значение выходного сигнала является постоянной величиной.

Автокорреляционная функция процесса на выходе может быть получена по формуле (3.1.20)

			Ky (τ)= lim	1	T∫ y(t)y(t + τ)dτ .
			Ky (τ)= lim		T∫ y(t)y(t + τ)dτ .
			T →∞ 2T −T
Подставляя в эту формулу y(t)					из формулы (3.2.1) и меняя порядок
интегрирования, получим
Ky	(τ)= lim	1	T∫ ∞∫w(τ1 )x(t − τ1)dτ1			∞∫w(τ2 )x(t + τ − τ2 )dτ2 dt =
Ky	(τ)= lim		T∫ ∞∫w(τ1 )x(t − τ1)dτ1			∞∫w(τ2 )x(t + τ − τ2 )dτ2 dt =
	T →∞ 2T −T 0					0	(3.2.3)
		= ∞∫w(τ1)dτ1∞∫w(τ2 )Kx (τ + τ1 − τ2 )dτ2 .					(3.2.3)
		= ∞∫w(τ1)dτ1∞∫w(τ2 )Kx (τ + τ1 − τ2 )dτ2 .
	0		0

Из последней формулы может быть получено выражение для мощности выходного сигнала

166

	= Ky (0)= ∞∫w(τ1)dτ1	∞∫w(τ2 )Kx (τ1 − τ2 )dτ2 .
y2			(3.2.4)

Альтернативная, более удобная в практическом применении формула будет получена ниже через спектральные плотности.

Аналогично выражению (3.2.3) получается формула для взаимной корреляционной функции процесса на входе и процесса на выходе звена

Kxy (τ)= ∞∫w(τ1)Kx (τ − τ1)dτ1 .	(3.2.5)
0

Сравнивая выражение (3.2.5) с выражением (3.2.1), замечаем, что они по форме совпадают, поэтому можно условно считать, что при поступлении на вход линейного звена «воздействия» Kx (t) выходной «сигнал» будет равен Kxy (t). Если таким «воздействием» будет дельта-функция, то «реакцией» по определению является весовая функция, поэтому при поступлении на вход звена белого шума единичной интенсивности (для него Kx (t)= δ(t)) взаимная корреляционная функция будет равна весовой функции

Kxy (τ)= w(τ).

Это непосредственно следует из формулы (3.2.5).

Пример 3.2.1. На вход апериодического звена первого порядка поступает белый шум интенсивностью N с автокорреляционной функцией

Kx (τ)= Nδ(τ).

167

Требуется найти автокорреляционную функцию сигнала на выходе

Ky (τ) и взаимную корреляционную функцию входного и выходного сиг-

налов Kxy (τ).

Весовая функция апериодического звена первого порядка равна

−

при t ≥ 0,

w(t)=

e T

при t < 0.

По формуле (3.2.3) получаем

∞

τ1

∞

τ2

Ky (τ)

K N

∫e−

dτ1 ∫e−

δ(τ + τ1 − τ2 )dτ2 =

∞

−

2τ1 +τ

∞

τ1

−

τ1 +τ

∫e

dτ1

при τ ≥ 0

−

при τ + τ

≥ 0

2 ∫e

dτ1

∞

2τ1 +τ

при τ + τ1

< 0

−

dτ1

при τ < 0

∫e

−τ

−

K2N

e T

при τ ≥

K2N

−

при τ <

Взаимную корреляционную функцию найдем по формуле (3.2.5)

∞			∞	τ1				τ
Kxy (τ)= ∫w(τ1)Kx	(τ − τ1)dτ1 =	KN	∫e−		δ(τ − τ1)dτ1 =	KN	e−		.
				T				T

0		T	0			T

168

Найдем теперь связь между спектральными плотностями процессов на выходе и на входе. Для этого применим преобразование Фурье к обеим частям формулы (3.2.3)

∞	∞	∞	∞
Sy (ω)= ∫Ky	(τ)e− jωτdτ = ∫ e− jωτdτ∫w(τ1)dτ1 ∫w(τ2 )Kx			(τ + τ1 − τ2 )dτ2 .
−∞	−∞	0	0

В правой части последнего выражения поменяем местами порядок интегрирования, сделав внутренним интеграл по τ. Умножим подынтегральное выражение на 1 = e jωτ1 e− jωτ1e jωτ2 e− jωτ2 и разделим переменные, преобразовав тройной интеграл в три независимых интеграла. Предполагая физическую реализуемость звена (весовая функция тождественно равна нулю при отрицательном аргументе), расширим также нижние пределы интегрирования по τ1 и по τ2 до минус бесконечности

Sy (ω)= ∞∫w(τ1)ejωτ1 dτ1	∞∫w(τ2 )e− jωτ2 dτ2		∞∫Kx (τ + τ1 − τ2 )e− jω(τ+τ1 −τ2 )dτ .
−∞	−∞		−∞
Последний интеграл после		замены переменной τ0 = τ + τ1 − τ2 есть
спектральная плотность	Sx (ω), а два первых – это Фурье-изображения

весовой функции, то есть частотные передаточные функции от аргумента (−jω) и (jω) соответственно. Окончательно получим

S	(ω)= W(− jω)W(jω)S	(ω)=	W(jω)	2 S	(ω).	(3.2.6)

y	x			x

Аналогичным образом из формулы (3.2.5) можно получить выражение для взаимной спектральной плотности

169

Sxy (jω)= W (jω)Sx (ω).

(3.2.7)

Мощность выходного сигнала с учетом формулы (3.1.26) и выражения (3.2.6) будет равна

∞∫

W(jω)

2 Sx (ω)dω =

∞∫

W (jω)

2 Sx (ω)dω .

y2 =

(3.2.8)

2π −∞

π 0

Формула (3.2.8) удобнее для практического применения, чем выражение (3.2.4) и часто применяется для вычисления среднеквадратических ошибок в САУ. Для удобства получения этих ошибок существуют таблицы интегралов, вычисленных по выражению (3.2.8) (см., например, П.17 в [8]).

Пример 3.2.2. На вход апериодического звена первого порядка поступает белый шум со спектральной плотностью Sx (ω)= N .Найдем спектральные плотности Sy (ω), Sxy (ω) и мощность сигнала на выходе.

Частотная передаточная функция апериодического звена равна

W(jω)=	K	. По формулам (3.2.6), (3.2.7) получаем

	1+ jωT
		S	(ω)=	K 2 N	и S		(ω)=	KN	.
				1+ ω2T 2
		y				xy		1+ jωT

Можно проверить, что применение обратного преобразования Фурье к полученным спектральным плотностям даст выражения для корреляционных функций из примера 3.2.1.

Мощность выходного сигнала можно подсчитать по формуле (3.2.8),

воспользовавшись табличным интегралом при n=1 (см. П.17 в [8]) 170

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11