Материал: 6251

Автокорреляционная функция четная, поэтому связь её со спектральной плотностью может быть выражена косинус-преобразованием Фурье

Из формулы (3.1.24) в частности следует, что спектральная плотность

Sx (ω) так же, как и автокорреляционная функция, является четной.

Выражение (3.1.26) показывает, что мощность стохастического процесса является суммой бесконечно малых парциальных слагаемых

π1 Sx (ω)dω , представляющих мощность процесса, соответствующую ин-

тервалу частот спектра процесса от ω до ω+dω. Таким образом, спектральная плотность по физическому смыслу описывает распределение мощности процесса по частотному спектру.

161

Для двух взаимно эргодических процессов x(t) и y(t) можно ввести взаимную спектральную плотность Sxy (jω), вычисляемую по формуле, аналогичной формуле (3.1.22)

Поскольку взаимная корреляционная функция Kxy(τ), вообще говоря, не обязательно четная, то взаимная спектральная плотность Sxy(jω) также не всегда четная и может содержать мнимую часть, что и отражено в аргументе (jω).

Обратное преобразование Фурье переводит взаимную спектральную плотность опять во взаимную корреляционную функцию

Во многих случаях идеализированное представление процесса приводит к появлению в спектральной плотности δ-функций. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 3.1.3. Пусть спектральная плотность задана выражением

Корреляционную функцию найдем по формуле (3.1.23)

162

При получении последнего выражения применено фильтрующее свойство δ-функции1.

Сопоставляя полученный результат с примером 3.1.1, делаем вывод о том, что присутствие в составе спектральной плотности бесконечного импульса на нулевой частоте говорит о существовании в стохастическом процессе постоянной составляющей и наоборот, наличие в процессе постоянной составляющей приводит к появлению в спектральной плотности бесконечного импульса δ(ω).

Пример 3.1.4. Пусть теперь в составе спектральной плотности имеются бесконечные импульсы на некоторой ненулевой частоте, то есть

Sx (ω)= π A22 (δ(ω − ω0 )+ δ(ω + ω0 )).

Подставляя это выражение в формулу (3.1.25), получим

Сравнивая полученный результат с корреляционной функцией примера 3.1.2, резюмируем, что наличие бесконечных импульсов на ненулевой частоте в спектральной плотности говорит о моногармонической состав-

1 Интеграл от произведения δ-функции на произвольную функцию равен значению этой функции в точке, в которой δ-функция принимает бесконечное значение.

163

ляющей в составе исходного процесса и наоборот, детерминированная гармоническая составляющая в стохастическом процессе дает бесконечный всплеск на частоте этой составляющей в выражении для спектральной плотности.

Пример 3.1.5. Пусть корреляционная функция задана выражением

Спектральная плотность в соответствии с формулой (3.1.22) будет равна

Из выражения (3.1.30) вытекает, что сколь угодно малый интервал между моментами времени в стохастическом процессе приводит к некоррелированности соответствующих случайных величин, то есть, получаем идеальный случайный процесс, в котором случайные величины в любые соседние моменты времени являются взаимно независимыми. Спектральная плотность такого идеального случайного процесса в соответствии с выражением (3.1.31) не зависит от частоты и является константой. Такой идеальный стохастический процесс называется белым шумом (по аналогии с белым светом, в котором представлены все участки спектра).

Белый шум часто применяют в исследованиях САУ при случайных воздействиях как модель различных помех.

164

3.2. Стохастические процессы в линейных САУ

3 . 2 . 1 . Про хо ждение случайно го сигнала чер ез линейные звенья

Приступим к изучению одной из задач исследования стохастики САУ, именно, − к задаче анализа1.

Представим себе линейное звено с передаточной функцией W(s) и соответствующей ей весовой функцией w(t), на входе которого действует стационарный эргодический случайный сигнал x(t) с известными статистическими характеристиками Kx (τ) и Sx (ω) (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Преобразование случайного сигнала линейным звеном

Сам сигнал на выходе звена определяется интегралом свёртки

Этой же формулой можно пользоваться для определения математического ожидания и корреляционной функции.

1 Вторая задача – задача синтеза.

2 Эта формула предполагает, что входной сигнал существует все время, то есть начинается он при t→∞.

165