Материал: 6251

2.4. Качество переходных процессов и коррекция

2 . 4 . 1 . Оценка качества нелинейных систем

Оценка качества работы нелинейных систем производится по тем же критериям, что и обыкновенных линейных систем. Если речь идет о переходном процессе, то это перерегулирование, колебательность, время переходного процесса. Для линейных систем эти показатели качества определяются только параметрами системы. В нелинейных же системах критерии качества зависят также от внешних воздействий, вызвавших переходной процесс.

Самый простой случай, когда заранее предполагается, что нелинейности, присутствующие в системе, оказывают незначительное влияние на динамику системы. Тогда можно в первом приближении исследовать качество переходного процесса и сам процесс без учёта этих нелинейностей, то есть рассматривать систему как линейную. Это возможно, например, для САУ с усилителем с ограничением, с малой зоной нечувствительности, с достаточно узкой петлей гистерезиса и т.п. Далее оценивается влияние нелинейностей на переходной процесс. Точное построение переходных процессов с учётом нелинейностей можно проводить методами численного интегрирования с применением ЭВМ. При невозможности точной оценки погрешности, допускаемой в результате неучёта малых нелинейностей, производится оценка сверху подобных погрешностей.

Для систем второго порядка, если их исследование проводится методом фазовой плоскости, качество переходных процессов полностью определяется по фазовому портрету системы.

131

Приближенная оценка влияния нелинейностей может быть сделана с применением метода гармонической линеаризации. Для этого нелинейное звено гармонически линеаризуется, а затем в первом приближении предполагают, что его гармонический коэффициент передачи остаётся таким же и для произвольного, а не только для моногармонического сигнала. Таким образом получают зависимость параметров передаточной функции от входного сигнала. Далее обычными методами определяем зависимость качества переходных процессов в теперь уже линейной системе от параметров передаточной функции, и в конечном итоге определяем влияние нелинейности на переходной процесс. При такой методике удобно пользоваться частотными критериями качества, в частности, можно применять показатель колебательности M и полосу пропускания как показатель быстродействия. Но в отличие от линейных систем, здесь получается не одна частотная характеристика, а семейство таких характеристик в зависимости от амплитуды внешнего воздействия. Следовательно, и качество переходного процесса также будет зависеть от внешнего сигнала.

Для оценки длительности переходного процесса в нелинейных системах введём понятие степени устойчивости η. При этом длительность переходного процесса в нелинейной системе сравнивается с длительно-

стью затухающей экспоненты e−ηt . Длительность последней равна, как

известно 3η 1 ([7], подраздел 4.3.3). Пусть теперь найдено такое максимальное значение η, при котором для всех движений выполняется условие x(t)eηt → 0 при t → ∞ , а при превышении этого значения данное

1 Для 5-и процентной ошибки.

132

условие не выполняется1. Это означает, что переходной процесс затухает не медленнее, чем экспонента e−ηt . Таким образом, найденная величина η является оценкой сверху времени переходного процесса tп в системе

3 tп ≤ η .

В линейной системе переходная составляющая решения x(t) (то есть решение однородного уравнения) представляется в виде суммы экспонент (возможно и комплексных), поэтому умножение x(t) на eηt равносильно уменьшению на η вещественных частей корней характеристического уравнения. То есть введённая здесь степень устойчивости для нелинейных систем совпадает с известной степенью устойчивости как минимальной вещественной части корней характеристического уравнения линейной системы.

В линейных системах для определения степени устойчивости применялись критерии устойчивости, применённые к уравнениям, изменённым таким образом, что это соответствовало умножению решения на eηt . Аналогично и в нелинейных системах возможно для определения величины степени устойчивости η использовать критерии устойчивости нелинейных систем: второй метод Ляпунова и частотный критерий абсолютной устойчивости По́пова.

При применении второго метода Ляпунова предварительно требуется в уравнениях системы заменить x(t) на x(t)eηt .

1 Речь в данном случае идёт об асимптотической устойчивости в окрестности устойчивой особой точке в начале координат.

133

Если применяется частотный критерий абсолютной устойчивости По́пова, то условием наличия у системы степени устойчивости не менее заданного η является выполнение этого критерия для видоизменённой частотной АФЧХ W (− η+ jω) вместо W (jω).

Метод гармонической линеаризации может быть также применен для определения степени устойчивости η. При этом предполагается, что в системе имеются затухающие колебания Ae−ηt sinωt . Гармоническая линеаризация в таком случае предполагает, что входной сигнал нелиней-

Коэффициенты гармонической линеаризации получаются в виде функций уже четырёх неизвестных параметров x0, A, ω и η, входящих в предполагаемое решение (2.4.1). В процессе исследования как раз и определяются упомянутые параметры. Если речь идёт о синтезе, то подобным образом может быть найдена, например, зависимость степени устойчивости η от варьируемых параметров системы путём построения линий равных значений η в плоскости этих параметров. Процедура определения степени устойчивости здесь та же, что и линейных системах.

2 . 4 . 2 . Кор рекция нелинейных систем

Коррекция нелинейных систем, равно как и линейных, проводится с помощью корректирующих звеньев, которые могут быть линейными или нелинейными. Линейные корректирующие звенья рассматривались в первой части пособия [7], и все изложенное о них для коррекции линей-

134

ных систем справедливо в полной мере и для коррекции нелинейных САУ. Поэтому остановимся только на принципиально новых возможностях, которые предоставляют для коррекции нелинейные звенья.

Прежде всего, нелинейными звеньями можно компенсировать вредное влияние присутствующих в САУ нелинейностей. С помощью нелинейных звеньев со специально подобранной статической характеристикой можно сделать статическую характеристику САУ линейной или даже деформировать её требуемым образом.

Устранение нежелательного влияния отдельных нелинейностей возможно также применением вибрационной линеаризации, заключающейся в сглаживании нелинейностей высокочастотным сигналом. Различают четыре способа вибрационной линеаризации: путем создания условий для появления автоколебаний, с помощью вынужденных детерминированных колебаний, создаваемых специальным генератором, с помощью случайных колебаний, формируемых генератором случайных сигналов и, наконец, применением скользящих режимов [6].

Другая область применения нелинейных корректирующих звеньев – это коррекция динамических качеств. Для этих целей безынерционные нелинейные корректирующие звенья, как правило, применяются в комбинации с линейными динамическими звеньями, образуя в комплексе нелинейные динамические корректирующие звенья. Если пользоваться описанием таких звеньев в частотной области (после гармонической линеаризации), то их применение преследует одну из двух целей. Вопервых, они применяются для получения определённой желаемой зависимости частотных характеристик от величины внешнего сигнала, например, для получения различной реакции системы на разные по величине входные воздействия, либо, наоборот, для устранения таких зависи-

135