Материал: 6251

Коэффициенты kг0, kг и kг′ , согласно формулам (2.3.44), являются

функциями постоянной составляющей x0 , амплитуды A и частоты ω .

Если величины x0 , A и ω постоянны, то постоянны и коэффициенты kг0, kг и kг′ . Следовательно, и уравнения (2.3.42), (2.3.43) являются линейными для гармонического сигнала (2.3.40). Таким образом, нелинейное уравнение y = ϕ(x) приближённо (без учёта высших гармоник) за-

меняется линейным уравнением (2.3.42) или (2.3.43). Такая замена и называется гармонической линеаризацией.

Коэффициенты kг0, kг и kг′ называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами передачи.

Уравнения (2.3.42), (2.3.43) можно условно представить в виде схем,

Рис. 2.29. Гармоническая линеаризация

Появление постоянной составляющей y0 возможно по двум причинам: либо к системе приложено постоянное внешнее воздействие, либо нелинейная характеристика является несимметричной относительно начала координат. В последнем случае нельзя выражать y0 через x0 с помощью

121

коэффициента kг0 , то есть в виде y0 = kг0x0 , поскольку здесь y0 ≠ 0 да-

же если x0 = 0 . Поэтому для несимметричных нелинейностей следует вместо формулы (2.3.42) пользоваться формулой (2.3.43).

Если внешнее воздействие отсутствует и нелинейная характеристика

где Wн (p)= kг + kωг′ p – передаточная функция эквивалентного линейного

звена, называемая гармонической передаточной функцией нелинейного звена.

Представим в выражении (2.3.45) входной сигнал x нелинейного звена в комплексной форме x = ejω t . Получим

ский коэффициент передачи (другие названия – амплитуднофазовая характеристика, описывающая функция) нелинейного звена.

В отличие от линейных систем, коэффициент усиления по амплитуде

являются функциями амплитуды входного сигнала. Это отражено в соответствующих выражениях.

122

Из формул (2.3.42), (2.3.43) следует, что коэффициент kг определяет выходную гармоническую составляющую, совпадающую по фазе с входным сигналом, а коэффициент kг′ – выходную составляющую, сдвинутую по фазе на π2 вперёд или назад в зависимости от знака этого коэффициента. Коэффициент kг′ отличен от нуля только для неоднозначных нелинейностей.

Для однозначной безынерционной нелинейной характеристики основная гармоника на выходе всегда совпадает по фазе с входным сигналом нелинейного звена. Поэтому для таких нелинейностей уравнение (2.3.42) можно переписать в виде

В последнем уравнении ещё раз подчеркнута зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды А и постоянной составляющей x0.

Наконец, при нечётной однозначной нелинейности и отсутствии постоянного входного воздействия уравнение (2.3.46) становится совсем простым

y = kг (A)x.

Для типовых нелинейностей в учебной и справочной литературе по теории автоматического управления существуют таблицы коэффициентов гармонической линеаризации, посчитанные по формулам (2.3.44) [6].

123

Пример 2.3.4. Вычислим коэффициент kг для усилителя с зоной нечувствительности (рис. 2.28). Для простоты положим наклон линейной части равным единице. Тогда аналитическое выражение для нелинейной зависимости можно записать в виде

x + a при x < −a.

Воспользуемся первой из формул (2.3.44). При этом учтём симметрию выходной кривой относительно точки ψ =ωt = π2, что позволяет верхний предел в интеграле заменить на π2, а результат учетверить

В полученном выражении учтено, что sin α = a . Кроме того, приве-

A

дённая формула справедлива при А>а.

На рис. 2.30 приведена зависимость kг от отношения Aa . Качественный характер кривой kг (Aa) можно было предвидеть и без аналитических выкладок. Действительно, до тех пор, пока A<a, выходной сигнал равен нулю и kг = 0. При увеличении отношения Aa больше единицы появляется выходной сигнал, и коэффициент kг возрастает от нуля.

124

kг

1

1Aa

Рис. 2.30. Коэффициент гармонической линеаризации для усилителя с зоной нечувствительности

Дальнейшее увеличение величины Aa приводит к всё меньшему влиянию зоны нечувствительности по сравнению с амплитудой входного сигнала, и при Aa → ∞ выходной сигнал становится равным входному сигналу, то есть коэффициент усиление стремится к единице.

Вернёмся к системе, изображённой на рис. 2.27. После линеаризации получим структурную схему, представленную на рис. 2.31.

f Wxf

W(s)

−

y

Wн(А) x

Рис. 2.31. Линеаризованная система

Для постоянной амплитуды А полученная система является линейной. Незатухающие колебания в линейной системе возможны, если эта система находится на колебательной границе устойчивости. Критерии нахождения системы на границе устойчивости могут быть самые разные: по алгебраическому критерию это равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, по критерию Михайлова – прохождение кривой Михай-

125