Материал: 6251

ω ≠ 1 , и эта даже небольшая разница с течением времени приводит к всё

бо́льшим отличиям получаемого решения от реального процесса. Ляпунов и независимо от него Рэйли предложили несколько видоиз-

менить составление уравнений (2.3.34). Они предложили частоту нулевого приближения взять равной не единице, а некоторому неизвестному

Далее процедура известна – раскрываем скобки и приравниваем множители при µ в одинаковых степенях в правой и левой частях полученного выражения. В результате получаем бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений

116

... .

Последовательно решая уравнения (2.3.39), получаем все больше и больше членов ряда (2.3.31). Частотные поправки hk вычисляются из условий равенства нулю вековых членов последовательно по всей цепочке уравнений. Попутно узнаём всё точнее неизвестную частоту ω в соответствии с формулой (2.3.37).

2 . 3 . 9 . Гар мо ническая линеар изация

Метод гармонической линеаризации предложили Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов в 1934 г. В приложении к САУ этим методом занимались Л.С. Гольдфарб и Е.П. Попов. В учебной и технической литературе встречаются и другие названия этого метода – метод гармонического баланса, метод описывающих функций, метод эквивалентной линеаризации.

Рассматриваемый метод применяется для определения условий возникновения и параметров автоколебаний, а, следовательно, и определения областей устойчивости и неустойчивости. Кроме того, гармоническая линеаризация может быть применена для исследования вынужденных колебательных режимов и переходных процессов при медленно меняющихся воздействиях.

По-прежнему представляем систему состоящей из нелинейного звена

117

с характеристикой ϕ(x)и линейной части, заданной передаточной функ-

цией W(s) (рис. 2.27).

W(s)

−

y

φ(x) x

Рис. 2.27. Нелинейная система

Применение метода гармонической линеаризации основано на предположении о том, что в системе существуют автоколебания, более того, колебания на входе нелинейного звена являются моногармоническими

где x0 – постоянная составляющая, A – амплитуда, а ω – частота автоколебаний.

На самом деле автоколебания в нелинейной системе не являются моногармоническими вследствие искажения сигнала нелинейным звеном. Но предположение о моногармоническом сигнале на выходе линейной части (или на входе нелинейного звена, что одно и то же) основано на факте, что в большинстве случаев линейная часть является фильтром нижних частот (гипотеза фильтра). Это означает, что амплитуды высших гармоник много меньше, чем амплитуда основной частоты ω . Поскольку частота автоколебаний ω выясняется только в результате применения метода гармонической линеаризации и заранее неизвестна, проверку гипотезы фильтра возможно провести только в конце исследования. Если в

результате такой проверки гипотеза фильтра не подтверждается, к полу118

ченным результатам следует подходить с осторожностью и, по возможности, провести дополнительное исследование каким-либо другим методом.

На выходе нелинейного звена сигнал уже не будет моногармоническим из-за нелинейных искажений (на рис. 2.28 показан пример прохождения синусоидального сигнала через усилительное звено с зоной нечувствительности).

Поскольку сигнал y на выходе нелинейного звена периодический, можно разложить его в ряд Фурье, а так как через линейную часть проходит только первая гармоника (гипотеза фильтра), то имеет смысл интересоваться именно этой гармоникой. В результате получим

2π

Рис. 2.28. Искажение сигнала нелинейным звеном

где постоянная составляющая y0 = 1 2∫πϕ(x)d(ωt), а коэффициенты 2π 0

Фурье С1 и С2 вычисляются по известным формулам

119