Материал: 2501

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

А х 0,	(7)
и эквивалентную ей систему нормальных уравнений:
АТ А х 0.	(8)
Из однородного характера системы (8) следует, что длина искомого

вектора х может быть определена лишь с точностью до произвольного
постоянного множителя. Это обстоятельство используем для
С						хn	= -1,0,
целесообразного нормирования вектора х. Например, полагая
запишем систему (8) в неоднородной форме
				А	х f ,		(9)
где	A	- с мметр чная матрица порядка (n-1) (n-1).
рассмотрим							АТ А
	Если элементы матр цы		А заданы точно и дефект матрицы

равен ед н це, то в результате решения системы (9) легко определить с любой точностью компоненты вектора х. Однако в данном случае матрица

АТ А построена на основе параметров,

измеренных с погрешностями.

Поэтому оцен

х вл яние на устойчивость решения.

Наряду с (9)

возмущенное уравнение:

(А

)

(10)

где А

и f

- соответственно возмущения матрицы

и вектора f.

Предположим, что матрица A - невырожденная, поэтому существует

обратная матрица

При

возмущении

на

обратная матрица

получит возмущение (

)

Обозначим через:

) 1

(

;

(11)

величины относительных возмущений матриц A и

A 1.

Как показано в

(15), справедлива оценка:

Н А

(12)

1 Н А

где Н

- число обусловленности матрицы

Оценка

(12)

показывает,

что малое

относительное

возмущение

приводит к малому относительному возмущению A 1 только в том случае, кода число обусловленности матрицы A не слишком велико сравнительно с единицей.

276

Введем обозначения для относительных возмущений решений х и вектора f:

х х

;

(13)

Если величина

возмущения

такова,

что

матрица

f -

невырожденная, то возмущенное уравнение (10) и точное (9) будут иметь

единственные решения:

(

) 1 (f

);

f .

(14)

погрешности

Из (14) наход м:

Сx x [(E A 1

) 1 E]

1 f (E

) 1

1 .

(15)

В номерах матр цы

A 1

вектора

величина абсолютной

преобразований

решен

я составит:

(Е А 1

) 1 Е

(Е

) 1

После

(16)

(16) для относительного возмущения решения

в (17) получена следующая оценка:

(

f )

(17)

1 Н

Оценка (17) и устанавливает влияние погрешностей измерения

информативных параметров на устойчивость решений. С точки зрения

устойчивости решения важно,

чтобы число

обусловленности было не

слишком большим. Например, если использовать спектральную норму, то Н

равно отношениюмаксимального числа матрицы А кминимальному, т.е.:

max

(18)

min

Из (17) и (18) следует, что малые относительные возмущения

матрицы

и вектора f вызывают

малое

относительное

возмущение

решения х только в том случае, когда число Н не слишком велико. Если матрица А по своим свойствам близка к вырожденной, то возможны большие возмущения в решении даже при малых возмущениях А и f .

Следовательно, критической величиной, которая решает вопрос о физической надежности решения системы (9), является не определитель матрицы А, а отношение ее собственных чисел max и min. Квадратный корень этого отношения измеряет увеличение помех в направлении, соответствующем собственному числу min. Пока число Н не превышает

277

определенную опасную величину, влияние погрешностей измерения параметров

а1,а2 ,а3 ,...,аn решениенеявляетсякритическим.

Но если Н достигает величины 104 и более, увеличение помех в

направлении min		может привести к такому искажению решения, которое не
будетсоответствоватьфизическомусмыслузадачи[5].
Таким	образом, если			число		Н	принять в	качестве	меры
			А	Т
обусловленности		матриц			А, то появляется			необходимость
				А и
установить	пр знаки,		определяющие				обусловленность		матриц

относительно процесса вычисления собственных чисел. Важно отметить,

что эти пр знаки отл чны от тех, которые определяют обусловленность
матриц относ тельно выч сления решений. Покажем это.
С				Т		Т		Т
Рассмотр м матр цу А А dA							А, близкую к матрицеА А. Пусть 1,
2, 3, …, n – собственные						и u1, u2, u3, …, un – собственные векторы
матрицы А	Т	А. Тогда:
матрицы А		А. Тогда:
Т			Т			Т
числа							) (ui dui) ( i d i) (ui	dui).	(19)
А	А ui i ui;		(A	А dA			) (ui dui) ( i d i) (ui	dui).	(19)
Пренебрегая в (54) величинами второго порядка малости, получим:
		dA	Т			Т	dui idui d i ui.		(20)
		dA	А ui		A		dui idui d i ui.		(20)
		б
Умножим (20) скалярно на ui						и учтем, что:
			Т		dui;ui) i(dui;ui ).				(21)
			(A		dui;ui) i(dui;ui ).				(21)
Тогда из (20) имеем:
					Т		Т		(22)
			d dA			; d dA .			(22)
			Аi i

Из (22) следует, что задачаДвычисления собственных чисел симметричных матриц устойчива в смысле абсолютной погрешности, т.к. абсолютная погрешность вычисления собственных значений не превосходит максимальнойизабсолютных погрешностейв элементах матрицы. Сказанное не распространяется на относительные погрешности. Например, относительная погрешность близкого к нулю собственного числа может быть большой при данном ограничении абсолютных погрешностей в элементах

симметричных матриц.										И
										И
			Оценка степени линейной зависимости информативных параметров.
Теоретически									вопрос о	степени линейной зависимости	параметров
		1 ,		2 ,		3 ,...,		n	решается	весьма просто: система (8) имеет	не равные
	а	1 ,	а	2 ,	а	3 ,...,	а	n	решается	весьма просто: система (8) имеет	не равные

нулю решения только в том случае, если определитель матрицы А А равен нулю. Но поскольку значения параметров заданы приближенно, то практически добиться выполнения этого условия невозможно. Более того, по величине определителя в данном случае вообще нельзя судить о том,

278

насколько по своим свойствам построенная матрица близка к вырожденной.

Т
Действительно, определитель матрицы А А равен произведению ее
собственных чисел, т.е.:
Т	(23)
det A А 1 2 3... n .
Из приведенного тождества следует, что произведение собственных
чисел может быть весьма малым, если все множители i меньше единицы,

но больше погрешностей

змерения параметров а1 ,а2 ,а3 ,...,аn . Такое же

значение определ теля можно получить, если имеется несколько больших

ближайшей

множителей i

несколько весьма малых. Если учесть,

что расстояние до

Свырожденной матрицы определяется минимальным

собственным ч слом, то в первом случае условие линейной зависимости

больших

не выполняется, а во втором матрица А

А по своим свойствам близка к

вырожденной.

пр нц пе

спектр

со ственных

чисел

матрицы

может

соответствовать одному з следующих трех случаев [6]:

1. Среди чисел 1, 2, 3,

…, n имеются очень большие и малые.

Значения

чисел

заведомо

превышают

предполагаемый

максимальный

уровень

погрешностей

элементов матрицы

А, а

значения малых чисел равны или меньше этого уровня.

2. Нет четкого разрыва между собственными числами, т.е. каждое из

них сопоставимо с предполагаемым уровнем погрешностей

элементов

матрицы А А.

3. Имеется достаточно четкий разрыв между большими и малыми

числами, однако

значение min существенно

больше

предполагаемого

уровня погрешностей элементов матрицы А А.

каждом

из названных

случаев

решение системы

нормальных

уравнений (8) имеет свои особенности.

Устойчивые решения системы (8) могут быть получены только в том

случае, если в спектре собственных чисел 1, 2, 3, …, n матрицы А А (n-1) – чисел больше предполагаемого уровня погрешностей ее элементов и только число n равно или меньше этого уровня.

Случай, когда в спектре собственных чисел нет четкого разделения на большие и малые, соответствует условиям некорректной задачи. Здесь для определения устойчивого решения следует применять методы теории регуляризации [7].

279

Если же все собственные числа матрицы А А существенно больше предполагаемого уровня погрешностей ее элементов, то это означает, что

параметры а1,а2 ,а3 ,...,аn не отвечают условию линейной зависимости и на их основе невозможно построить работоспособный диагностический эталон.

В процессе построения эталона неизбежно возникает вопрос о степени переопределенности условной системы уравнений (7). Следует отметить, что по своей сути этот вопрос является противоречивым.

Действительно,

поскольку

параметры

а1,а2 ,а3 ,...,аn

заданы

погрешностями, то обычно полагают m n, что оправдывается

стремлен ем получ ть решение системы (8) с большей точностью. С

другой стороны,

m соответствует числу режимов, на которых следует

замеры параметров. Поэтому желательно, чтобы m было не

произвести

ошибок

слишком больш м. Кроме этого, при увеличении m возрастает число

вычислительных операц й в процессе перехода от системы (7) к системе

(8) и, следовательно, накопление

в элементах матрицы А

А. В

конечном

счете

процесс

накопления

ошибок может

привести

существенному искажению решения.

В каждом конкретном случае излагаемый подход позволяет вполне

обоснованно решить вопрос и о степени переопределенности условной

системы

(7).

Используем

для

этой

цели

известное

тождество,

соответствии с которым сумма диагональных элементов матрицы

равна сумме ее собственных чисел, т.е.:

(ln a1i )2

(ln a 2i )

2 (ln a 3i

)

2 ... (ln a n 1,i )2

i 1

(24)

...

(ln a

n,i

i 1

Из (24) следует, что между степенью переопределенности матрицы А

А имеется прямая взаимосвязь.

и свойствами эквивалентной матрицы А

Действительно,

если параметры

2 ,

3 ,...,

линейно зависимы (ранг

матрицы А

А = n-1), то увеличение суммы членовИлевой части тождества

должно компенсироваться суммой собственных чисел 1, 2, 3, …, n-1

каждое

из

этих

чисел

должно

быть больше

предполагаемого уровня

максимальной погрешности в элементах матрицы А А. Что касается собственного числа n, то в соответствии с (22) оно должно иметь значения, не превышающие уровня максимальной погрешности в

элементах матрицы А А.

280

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3