Материал: 2471

димо воспользоваться правилом дифференцирования частного двух функций [формула (1.19)], а также правилом дифференцирования сложной функции [формула (1.20)], поскольку функцииx 3 2,ln3 5x 6 − сложные.

y x2 4.

138

Под неявным заданием функции понимают ее задание в виде уравнения F x, y 0, не разрешенного относительно y. Например,

уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию от x (y=y(x)), а затем полученное уравнение (если это необходимо) разрешить относительно y .

Решение. Согласно правилу дифференцирования неявно заданной функции, продифференцируем уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию от x, то есть y y x .

y 21x 21y 2sin y y 21x 1 42yysin y

Пример 1.12. Найти производную функции y, заданной неявно

уравнением arcsin x yln x. y

Решение. Рассуждая аналогично, получаем:

139

на отрезке t1;t2 . Каждому значению t t1;t2 соответствуют определенные значения x, y, которые в свою очередь на координатной плоскости Oxy являются координатами некоторой точки P(x, y). Когда t изменится от t1 до t2, точка P на координатной плоскости Oxy опишет некоторую кривую.

Определение. Уравнения x x(t), y y(t) (t t1;t2 ) называют-

ся параметрическими уравнениями кривой, t параметром, а спо-

соб задания кривой параметрическими уравнениями − параметриче-

ским.

Заметим, что в математике параметр (от греч. «parametron» − «отмеривающий») − это величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент (например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. В технике параметр − это величина, характеризующая какое-либо свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (например, электрическое сопротивление, теплоемкость, масса, коэффициент трения).

Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t:

x x(t),

y y(t),

140

где x(t), y(t) − имеют необходимое число производных по переменной t в рассматриваемой области изменения этой переменной. Тогда производная функции y f x , определяемой параметрическими

1.2.Производные высших порядков

1.2.1.Производные высших порядков явно заданной функции

Пусть функция y f x − дифференцируема на некотором интервале a;b . Тогда, дифференцируя ее, получим первую производ-

ную (производную первого порядка)

то получим вторую производную (производную второго порядка)

функции y f x :

141

Этот процесс взятия производных можно продолжить и далее, находя производные порядка n:

то есть n-й производной (производной n-го порядка) называется производная от производной n 1 - го порядка.

Заметим, что вторая производная имеет важный физический смысл. Так, если S S t − зависимость пути от времени, то, как было рассмотрено ранее [формула (1.3)]: S t − скорость движения. Тогда S t t − «скорость изменения скорости», или ускорение:

Ускорение обычно обозначается буквой а (acceleration – «ускорение» по-французски). Так как размерность скорости см/с или м/с, то размерность ускорения см/с2, или м/с2. Именно тот смысл, который имеет вторая производная (ускорение), делает ее понятие особенно важным для физики. Ведь согласно второму закону Ньютона именно ускорение является главной характеристикой движения (сила в Н равна произведению массы тела в кг на его ускорение в м/с2).

Задача 1.3. Найдите ускорение материальной точки в момент времени t по данным задачи 1.1 (см. п. 1.1).

Решение. Напомним, что в задаче 1.1 требовалось найти скорость движения материальной точки в момент времени t, если закон дви-

чим мгн ). Заметим, что к такому результату мы пришли путем

непосредственного нахождения предела lim S (без использования

t 0 t

правил дифференцирования). Поэтому прежде чем находить ускоре-

142