Материал: 2471

Рис.1.8. Зависимость перемещения поршня от угла поворота кривошипа

Функция S=S(φ) является исходной (начальной) и с ее помощью можно получить другие функции, например, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла или времени поворота кривошипа. Заметим, что путь поршня можно определить и расчетным способом по формуле (см. гл. 4)

S R (1 cos ) R (1 cos2 ). 4

Для определения скорости и ускорения поршня необходимо знать время в секундах при повороте кривошипа на 100. Время в секундах, угол φ в градусах и частота вращения кривошипа n (мин-1) связаны выражением

t / 6 n 10/ 6 5600 3 10 4 c.

Для каждого участка в интервале 100 приращение аргумента равно 3·10–4 c. Чтобы определить скорость поршня при повороте кривошипа от 0 до 180 0 в интервале через 100, необходимо приращение пути S (м) на каждом участке разделить на приращение аргумента t = 3·10– 4 c. Получим значение средней скорости (м/с) на каждом участке и занесем в табл. 1.2. Для определения ускорения поршня

Например, рассмотрим рис. 1.8 на участке изменения пути, от 40 до 500. Выделим прямоугольный треугольник, один из катетов которого численно равен приращению пути S=5,54 мм (ΔS=16,47 – 10,93=5,54) (данные табл. 1.2), а другой − приращению времени t=3·10 – 4 c. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике отношение S/ t численно равно тангенсу угла (рис. 1.9):

tg S / t 5,54 10 3 / 3 10 4 18,46. С другой стороны, это отношение равно средней скорости движения поршня на данном участке пути за данный промежуток времени. То есть при приращении пути поршня на данном участке, равном 5,54·10-3 м за время 3·10 – 4с, средняя скорость достигнет 18,46 м/с.

действительному графику скорости движения поршня. Такой подход к решению рассматриваемой задачи согласуется с определением производной функции как предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (малому значению) и иллюстрирует ее механический смысл. Напомним, что производная является скоростью изменения процесса, а в нашем примере скоростью движения поршня.

На рис. 1.10 представлен график изменения скорости движения поршня (первой производной пути по времени) в зависимости от угла поворота кривошипа φ или соответствующего времени.

130

Рис. 1.10. Зависимость скорости поршня от угла поворота кривошипа

Следует отметить, что график пути поршня в зависимости от положения кривошипа существенно отличается от графика скорости поршня как по форме, так и по единицам величины (м и м/с). Ход поршня не зависит от частоты вращения кривошипа, а скорость зависит. Таким образом, используя понятие производной, расчетным путем из исходного графика пути поршня мы получили новый график зависимости скорости поршня от угла поворота кривошипа.

Зная приращение скорости на отдельных участках, можно обратным путем определить приращение пути. Например, при повороте кривошипа от 40 до 500 среднее значение скорости равнялось (15,33 + +18,46)/2 = 16,89 м/с. Умножим полученное значение скорости на время 3·10– 4 c, соответствующее 100 (шагу расчета), получим среднее приращение пути, равное 5,06·10-3 м. Полученный результат согласу-

ется с данными табл. 1.2 (4,6·10-3 + 5,5·10-3)/2 = 5,05·10-3 м).

Теорема 1.1. (Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции). Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Непрерывность функции в точке x0 означает, что функция имеет в этой точке предел, равный значению функции в этой точке: lim f x f x0 . Или, что то же самое, каждому бесконечно малому

приращению аргумента x [формула (1.1)] функции y f x соответствует бесконечно малое приращение функции y, определенное по формуле (1.2), то есть lim y 0. Графически непрерывность

функции в точке означает, что график функции в этой точке строится «не отрывая руки».

131