Материал: 2471

Приложение 2

2.1. Число

Как известно, число входит в ряд формул по математике, физике, химии, биологии. Число («Пи») – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к ее диаметру. Число выражается бесконечной десятичной дробью: 3,14159… . В расчетах чаще всего используется значение числа 3,14. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια − «окружность», «периферия» и περίμετρος − «периметр».

Если принять диаметр окружности за единицу d 1 , то длина окружности будет равна L d . В Евклидовой геометрии радиан равен 1800, один радиан равен 57,320.

Основное приближение числа = 22/7 принадлежит древнегреческому ученому Архимеду (212−287 гг. до н. э.). Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления числа . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник,

Архимед получил оценку 3 10 3 1 .

717

Вавтомобилестроении число π играет важную роль. Например,

максимальная скорость у проектируемого автомобиля должна быть 40 м/с, или 144 км/ч (40 · 3,6). Наружный диаметр ведущего колеса D равен, например, 0,6 м. За один оборот колеса без пробуксовки автомобиль пройдет путь, равный ( D), или 1,88 м. Определим число полных оборотов колеса, чтобы автомобиль за один час преодолел расстояние 144 км, или 144 000 м. Для этого необходимо 144 000 м разделить на 1,88 м и получим 76 596 об/ч или 1276 об/мин. Зная частоту вращения колеса и частоту вращения вала двигателя, определяют передаточное отношение трансмиссии. При частоте вращения вала двигателя, например, равного 5600 об/мин, передаточное отношение трансмиссии должно быть равно 4,4.

2.2. Число e

Известно, что незатухающую волну во времени графически можно изобразить синусоидой или суммой синусоиды и косинусоиды. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, рав-

ной 1, описывает экспоненциальная функция ei t cos t isin t, где − частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул − формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук (1707 − 1783) по первой букве его фамилии и названо число е. Покажем, чему равно значение этой известной константы.

Если последовательность xn монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел (теорема Вейерштрасса). Вспомним определение предела последовательности. Итак, число а называется пределом последовательности xn , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N , что при всех n N выполняется неравенство xn a .

Проверим выполнимость условий этой теоремы на примере по-

Перепишем полученное выражение в следующем виде:

Покажем, что последовательность xn – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn 1 и сравним его с выражением xn:

Непосредственным сопоставлением правых частей равенств для xn и xn 1 убеждаемся в том, что каждое слагаемое в выражении xn 1 больше соответствующего значения xn. Это следует из того, что для

еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность xn − возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех (то есть последовательность xn ограничена сверху): xn 3. Для доказательства заметим, что каждое выражение, стоящее в круглых

и ограниченная сверху, то есть имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3, то есть 2,5 e 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е с точностью до пяти знаков после запятой имеет вид 2,71828… .

Если в выражении f x ax в качестве a взять число e, то мы получим показательную функцию f x ex, играющую важную роль в естественных науках. Так, например, данная функция применяется для описания следующих процессов:

Процессы (органического) роста: g t g0ect , где g0 − начальная величина; с – постоянная роста.

Процессы распада: m t m0e t , где m0 − начальная величина;

– постоянная распада.

Затухающие колебания: f t e kt sin t , где − частота; − смещение по фазе; t − время.

лива в двигателях внутреннего сгорания.

2.3. Логарифмы

Логарифм (от греч. «слово», «соотношение» и «число»). По оп-

ределению, логарифм числа а по основанию b – это та степень с, в

которую надо возвести b, чтобы получить подлогарифмическое выражение а:

с logb a a bc.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg x. Например, lg 100 = 2, или 102 =100. Соответственно, lg 1000 = 3, lg 10000 = 4, lg 100000 = 5. Логарифмы по основанию 10

иногда применяют при построении графиков с большими числовыми значениями.

Логарифмы по основанию e ≈ 2,718 называются натуральными

(то есть природными, естественными) логарифмами и обозначаются ln x. Например, ln 100 = 4,6, или 2,718 4,6 ≈ 100.

«Естественность» именно этой системы логарифмов связана с тем, что в ряде отношений они оказываются простейшими. Так, например, для функции y ln x проще всего определить производную (скорость роста). Эти замечательные свойства натуральных логарифмов привели к тому, что оба создателя учения о логарифмах − шотландский дворянин Джон Непер (1550 − 1617) и швейцарский часовщик Йобст Бюрги (1552 − 1632), почти одновременно и независимо их открывшие, рассматривали именно этот тип логарифмов (или весьма близкие к ним). Десятичные логарифмы впервые рассмотрел по предложению Непера его друг и почитатель лондонский профессор Генри Бригс (1561 − 1630). В старину десятичные логарифмы зачастую на-

зывали бригсовыми, а натуральные − неперовыми.

Соотношение между натуральным и десятичным логарифмом определяется формулой [29]:

ln x 2,3 lg x.

2.4. Свойства логарифмов

a 0,b 0, a 1.

1)loga a 1, a 0,a 14;

2)aloga b b, a 0,b 0,a 1;

3)loga bc c, a 0,b 0,a 1;

4)loga b loga c loga bc , a,b,c 0,a 1;

5)loga b loga c loga b , a,b,c 0,a 1;

c

1

6) loga b logb a ,a,b 0,a 1;

7) loga b logc b ,a,b,c 0,a 1,c 1. logc a