Материал: 2471

ние а t Stt [формула (1.27)], найдем как первую производную функции S S t [формула (1.7)], воспользовавшись табл. П.1.1 и основными правилами дифференцирования (п. 1.1.2).

Как видим, результаты совпадают. Найдем далее ускорение a как первую производную скорости или как вторую производную перемещения S .

143

б) y y , следовательно, найдем сначала производную первого порядкаy :

y xe2x 1 e2x x e2x 2 e2x 1 2x .

Тогда производная второго порядка y будет найдена следующим образом:

y e2x 1 2x e2x 2 1 2x e2x 2 e2x 2 4x 2

4e2x 1 x .

1.2.2.Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция y f x задана неявно уравнением F x, y 0. Для нахождения производной первого порядка y воспользуемся правилом дифференцирования неявно заданной функции (п. 1.1.5), а именно продифференцируем это уравнение по переменной x и разрешим его относительно y . Продифференцировав далее по x первую производную y , получим вторую производную от неявно заданной функции. В нее войдут x, y, y . Подставляя уже найденное значение y в выражение второй производной y , выразим y через x и y.

Пример 1.16. Для неявно заданной функции 4x2 y3 2xy найти производную второго порядка yxx .

Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной функции (см. п. 1.1.5) найдем yx, продифференцировав левую и правую части исходного равенства по переменной x, считая y функцией от x (y=y(x)).

144

Далее, в случае необходимости, в полученное выражение можно

1.2.3. Производные высших порядков функций, заданных параметрически

Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t:

x x(t),

y y(t).

Тогда, если первая производная (производная первого порядка)

yx определяется по формуле yx yt [формула (1.22)], то вторая про- xt

145

Решение. Найдем сначала yx [формула (1.22)].

Контрольные вопросы

1.Какие основные задачи, приводящие к понятию производной, вы знаете? В чем сходство всех таких задач?

2.Сформулируйте определение производной функции в точке и на интервале.

3.В чем заключается геометрический, физический и механический смысл производной?

4.Следует ли из условия непрерывности функции в точке ее дифференцируемость в этой точке?

5.Назовите основные правила дифференцирования.

6.Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

7.Сформулируйте правило нахождения производной обратной функции.

8.Какое задание функции называют неявным и что необходимо сделать, чтобы найти производную неявно заданной функции?

9.По какому правилу считаются производные высших порядков для неяв-

но заданных функций?

10.Назовите формулы, позволяющие находить производные первого и второго порядков функций, заданных параметрически.

11.В чем заключается механический смысл производной второго порядка?

12.Сформулируйте понятие производной n-го порядка. Приведите примеры.

146

1.3. Дифференциал

Из анализа формулы (1.6) следует, что для нахождения производной f x функции y f x по определению необходимо совершить следующие действия:

1)задать некоторое значение x и приращение x [формула (1.1)];

2)найти f x и f x x ;

3)найти приращение y f (x x) f (x);

lim y. Этот предел, в случае его существования, и будет равен про-

x 0 x

изводной функции y f x , а именно lim y f x .

x 0 x

Таким образом, точное равенство между производной f x и от-

ношением y достигается лишь в пределе. Если предел «опустить»,

Можно сказать, что равенство в формуле (1.29) становится «точным в пределе» при x 0. Здесь выражение «точно в пределе» вовсе не означает, что при x 0 левая и правая части приближенного равенства совпадают (равны нулю), оно подчеркивает, что при малыхx левая и правая части (1.29) «почти равны» в том смысле, что их разность гораздо меньше самих этих выражений.

где − бесконечно малая функция более высокого порядка, чем x (это означает, что при x 0 стремится к нулю гораздо быстрее

x). Именно это мы имели в виду, говоря, что равенство y f x

x

является «точным в пределе»: само по себе отношение y , вообще

x

147