Материал: 2471

где с − круговая, циклическая частота собственных крутильных колебаний, 1/с.

Уравнение (9.10) является дифференциальным уравнением

свободных колебаний вала с одной массой. Найдем его решение (см. гл. 3). Так как соответствующее характеристическое уравнение k2 c2 0 имеет два комплексных сопряженных корня ci, следовательно, по табл. 3.1 (гл. 3) решение уравнения (9.10) будет иметь вид

e0 t A sin ct B cos ct A sin ct B cos ct. (9.11)

Постоянные величины A и B находят из начальных условий. Начало движения – момент максимального угла закручивания ва-

Из уравнения (9.11) получим

t 0 c A sin0 B cos0 B B c.

Для нахождения коэффициента A воспользуемся вторым началь-

Уравнение (9.12) выражает гармоническое колебательное дви-

жение, в котором c является амплитудой или максимальным углом поворота маховика от своего нейтрального положения.

9.2.Вынужденные крутильные колебания вала

содной массой

Если к маховику приложить возмущающий момент МВ , изменяющийся по гармоническому закону

Учитывая содержание уравнения (9.10) и вводя обозначения

q M0 , получим уравнение

Jм

которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний

вала с одной массой.

Данное уравнение − неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Перепишем его в

где 1 решение соответствующего однородного уравнения (9.10);

(9.12)] 1 c cos ct.

б) Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (9.16) величину 2 определим по данным табл. 3.2 (п. 3.3.2).

коэффициентов. Для этого найдем 2 и подставим его и в исходное уравнение (9.16).

2 Сcos Bt Dsin Bt С B sin Bt D B cos Bt;

2 С B sin Bt D B cos Bt С B2 cos Bt D B2 sin Bt.

При подстановке найденных выражений 2, 2 в уравнение

(9.16), получим

С B2 cos Bt D B2 sin Bt c2 Сcos Bt Dsin Bt qcos Вt;

С B2 cos Bt D B2 sin Bt С c2 cos Bt D c2 sin Bt qcos Вt;

С c2 B2 cos Bt D c2 B2 sin Bt qcos Вt.

Приравняв коэффициенты при cos Bt и sin Bt в левой и правой частях полученного равенства, составим и решим систему уравнений:

При решении системы мы воспользовались тем, что выражение

c2 B2 0.

Таким образом, мы получим

q

где В c2 В2 .

Угол В является амплитудой вынужденных колебаний.

баний, равная частоте вынужденных, амплитуда колебаний достигает

бесконечности

Данное явление называется резонансом и приводит к резкому повышению деформации кручения и возможным поломкам коленчатого вала.

9.3. Последовательность расчета коленчатого вала на крутильные колебания

Расчет коленчатого вала на крутильные колебания включает:

1.Приведение крутильной системы вала.

2.Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы.

3.Определение резонансной критической частоты вращения.

4.Выработку рекомендаций, устраняющих крутильные колеба-

ния.

9.3.1. Приведение крутильной системы вала

На рис. 9.2 представлены схемы крутильной системы четырехцилиндрового двигателя автомобиля типа ВАЗ с маховиком и эквивалентная схема, состоящая из двух масс.

Рис. 9.2. Приведенная система коленчатого вала (слева); двухмассовая система коленчатого вала (справа)

При расчете крутильной системы вала учитывают массы коленчатого вала, поршней и шатунов. Приведение крутильной системы состоит из следующих этапов:

1.Вычерчивается схема коленчатого вала.

2.Определяется длина отдельных участков коленчатого вала. Длины соответствующих участков прямолинейного вала должны иметь крутильную жесткость, равную жесткости участков действительного вала.

3.Оцениваются моменты инерции насаженных на приведенный вал дисков (момент инерции колена вала, шатуна и поршня), кинетическая энергия которых при крутильных колебаниях должна быть равна кинетической энергии действительной системы.

Диаметр приведенного вала равен диаметру коренной шейки коленчатого вала. Диаметр коренной шейки примем 0,05 м, радиус кривошипа 0,0375 м, массу поршня 0,34 кг, массу шатуна 0,5 кг.