Материал: 2231

35.

В чем заключается геометрический смысл полного диффе-

ренциала первого порядка функции нескольких переменных?

36.

Приведите формулу вычисления полного дифференциала

первого порядка функции нескольких переменных.

37.

Напишите два варианта формулы приближенных вычисле-

ний с помощью дифференциала.

И

38.

Приведите основные достоинства и недостатки формулы

приближенных вычислений с помощью дифференциала.

39.

Дайте определение полного дифференциала второго и более

высоких

порядков функции нескольких переменных.

40.

Напишите формулы вычисления полного дифференциала

второго и более высоких порядков функции нескольких переменных.

41.

Напишите формулу Тейлора для функции нескольких пере-

менных.

42.

Дайте определение производной функции нескольких пере-

А

менных по направлению вектора.

43.

Напишите формулу вычисления производной функции не-

скольких переменных по направлению вектора.

44.

Поясните геометрический смысл производной функции не-

б

скольких переменных по направлению вектора.

45.

Дайте определение градиента функцииДнескольких переменных.

46.

Укажите основные свойства градиента функции нескольких

переменных.

поверхности

47.

Чему равна производная функции по направлению градиента?

48.

Дайте определение касательной плоскости к поверхности.

49.

Дайте определен е нормали к поверхности.

50.

Нап ш те уравнения касательной плоскости к поверхности

для случая задан я поверхности в явном и в неявном виде.

С

51.

Нап ш те уравнения нормали к поверхности для случая за-

дан я

явном в неявном виде.

52.

Дайте определен е локального максимума и локального ми-

нимума функции нескольких переменных в точке.

53.

Что такое экстремум функции нескольких переменных?

54.

формулируйте необходимое условие существования экс-

тремума функции нескольких переменных.

55.

Какие точки функции называются критическими? какие точ-

59. Как составляется функция Лагранжа?

И

60. Укажите связь числа уравнений связи и числа переменных

функции.

61. Как составляется функция Лагранжа при наличии несколь-

62.

Приведите схему исследования функции нескольких пере-

менных на экстремум.

Д

63.

Приведите схему исследования функции нескольких пере-

менных на условный экстремум.

ременных принимает свои наибольшее и наименьшее значения?

А

65. Приведите схему нахождения наибольшего и наименьшего

значений функции нескольких переменных в замкнутой области.

б

и

С

z =

xy

3. Найти область определения функции

.

x + y +1

4. Найти область определения функции z = arctg

x

.

y

5. Вычислить частные производные первого и второго порядков

функции u = x2 + y2 − z2 .

6. Вычислить частные производные первого порядка функции

z =

xy

.

x + y +1

7.

Вычислить частные производные первого порядка функции

И

z = ln(

x +

y).

8. Найти (z′x − z′y ) в точке (–1;1) для функции. z = x2 − 2xy + 2y2 .

9. Найти сумму частных производных первого порядка функции

z = arctg

x

в точке (1;1).

Д

y

10. Найти сумму частных производных первого порядка функ-

ции u = y2ez

+ ln(x2 − 2y) в данной точке (1;−1;0) .

11.

Для

функц

z = ln(

+

)

доказать, что

3 x

5 y

∂z

∂z

1 .

А

x

+ y

=

∂x

∂y

2

12. Состав

ть уравнение касательной плоскости к поверхности

x2 + 2y2 + 3z2

б

=

6 в точке (1; –1; 1).

xy

13.

градиент и его модуль функции z

=

в точке

Найти

x + y

+1

M ( 0 ; 1).

С

16.

Проверить, что

∂2 z

=

∂2 z

для функции z =

x2 −

1

.

∂х∂у

∂y∂x

y2 +

3

17.

Найти производную функции z =

x2 + y2

по направлению

вектора a = (4,−3) в точке M (3; 4).

И

по

направлению

M (

3;1;1)

Д

ными

20.

Найти экстремум функции z = 3x + 6y − x2 − xy − y2 .

21.

Найти экстремум функции

z = x2 + y2

− xy + 9x − 6y + 20.

бА

22.

Найти экстремум функции

z = x

y

− x2 − y +

6x +

3.

и

17. 0.

15. 6.

12 .

19. − 5 + 4

.

18.

2

С

2

5

20.

zmin = z ( 0;3) = 9.

21. zmin

= z (−4;1) = −1.

22.

zmax = z (4; 4) = 15.

1

Вариант 1

И

1. Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных: a)

z = x2 y2 ;

б)

z = x cos y .

2. Найти производную функции z = 1/

в точке M 0 (1; 4) по на-

xy

правлению вектора l (1; −1) .

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 2xy−3x2 −2 y2 +10

в точке

(1; −1).

4. Найти с помощью полного дифференциала приближённое зна-

чение выражения

.

3

3,98

8,02

5. Исследовать функцию

z = x2 + y2 − 2x + 4y +1 на экстремумы.

б2 2

Д2

Вариант

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

выражения

z = x sin y

переменных: а)

z

=

;

)

.

xy

2.

Аz =

xy

в точке M0 (1;9) по на-

Найти про зводную функции

правлен ю вектора l

(1; 1) .

Состав

ть уравнен е касательной плоскости и нормали к по-

3.

верхности z = 2xy − y + x

в точке Д (3;1).

4.

Найти

помощью полного дифференциала приближённое зна-

чение

1

.

4,01

3

8,02

5.

Исследовать функцию

z = x2 + xy + y2 −13x −11y + 7 на экс-

тремумы.