Материал: 2231

Т.о., при λ

=

5

получили критическую точку M

4

,

3

2

1

5

5

.

1

4

4

x =

= −

5 ;

2

5

−

2

5 , то

Если λ2

= −

3

3

2

y

=

=

.

5

5

2

−

2

5

4

3

Т.о., при λ2

= −

Д

,

−

.

2

5

5

Теперь составим определитель (33) из производных 2-го поряд-

ка для проверки существования экстремума:

И

А

∆ =

2

λ

0

.

0

2λ

б

M1

4

3

5

Находим ∆

в критических

точках

5

,

5

(при

λ1

=

2

) и

−

4

, −

3

(при λ2 = −

5

).

M 2

5

5

2

и

4

3

5

Исследуем точку M1

5

,

5

(при

λ1 =

2

):

С

5

0

4

3

∆ M1 =

0

5

= 25 > 0,

точка M1

5

,

5

– точка экстремума.

Т.к., кроме того,

z′x′x

= 5 > 0, M1

4

,

3

– точка условного

5

5

минимума.

M1

z

i min

= z (M

1

)

=

6 − 4 4 − 3 3 = 30 −16 − 9 = 1.

5

5

5

Исследуем точку M 2

−

4

, −

3

(при λ2 = −

5

):

5

5

2

∆

=

− 5 0

= 25 > 0,

точка M

4

, −

3

– точка экстре-

M

2

0

− 5

2 −

5

5

мума.

Т.к., кроме того, z′x′x

= −5 < 0,

M 2

−

4

, −

3

– точка ус-

5

5

ловного максимума.

M2

z

= z (M 2 ) = 6

− 4

−

4

3

30 +16 +

9

=

11.

max

− 3

−

=

5

5

5

Итак,

А

И4 3

функция имеет условный минимум в точке

M1

5

,

5

;

= z (M1 ) = 1.

z

i min

M

4

3

Функция

имеет условный

максимума

в

точке

, −

;

−

5

5

= z (M 2

) = 11.

Д2

z

max

области

в области

§15. На

ольшее

наименьшее значения функции в области

Функц я

z = f (x, y), дифференцируемая в ограниченной замк-

С

D, дост гает наибольшего и наименьшего значений

нутой

л бо в кр

ческбх точках функции, лежащих в области D,

либо на

гран

цах

D.

Пример.

И

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

u =10x2 + 3y2 −10y − 8xy

в замкнутой области

D ,

ограниченной ли-

ниями y = x2 ,

y =1.

Решение.

1.

Находим

критические

точки

функции

Д

u =10x2 + 3y2 −10y − 8xy . Составляем и решаем систему (31):

20 x − 8 y = 0;

8 y = 0.

6y −10 −

А

10

25

Находим решение системы –

точку

M1

7

,

7

. Однако эта

точка не принадлежит заданной области D .

б

2. Теперь исследуем поведение функции на границах.

а)

На

части

границы

y =1,

−1 ≤ x ≤ 1,

имеем

u(x, y) = u(x,1) =10x2 − 8x − 7 .

Критическую

точку

находим, решая

Вычисляем

Отсюда

x0 =

2 ;

y0

= 1. Критическая

уравнение

u′

= 20 x

− 8 = 0.

2

5

точка на этом участке гран цы M 2

5

,1 .

б) На части гран цы y = x2 ,

−1 ≤ x ≤ 1, функция принимает вид

С

u(x, y) = u(x, x2 ) = 3x4 − 8x3 .

Вычисляем

производную

u′ = 12 x3 − 24 x2 = 0,

наход м критические точки

M3 (0,0);

M 4 (2,4).

При этом точка M 4 (2,4) D .

3.

значения функции в найденных критических точ-

ках области и в угловых точках границы M5

(−1,1) и M6

(1,1):

u (M 2

) = u

2

= −

43

;

5

,1

5

угловой точке границы области M5 (−1,1).

43

Наименьшее значение функции равно −

, оно достигается на

2

5

И

границе области в точке M 2

5

,1 .

Д

Вопросы и задания для самопроверки по разделу

А

«Дифференциальное исчисление функции нескольких

переменных» ([1,3,4,5,6,7], прил. 1–10, 22)

1.

Как вы понимаете функциональную зависимость между пере-

б

менными величинами?

2.

Дайте определение функции двух переменных.

3.

Дайте определение о ласти определения функции двух пере-

менных.

Приведите

4.

Дайте определение множества значений функции двух пере-

менных.

5.

Что называется окрестностью точки на плоскости?

6.

Что называется окрестностью точки в пространстве?

7.

Какая точка называется внутренней точкой области?

С

8.

Какая точка называется граничной точкой области?

9.

Дайте определен е границе области.

10.

Какая область называется открытой?

11.

Какая область называется закрытой, замкнутой?

12.

определение линии уровня функции двух пере-

менных.

13.

Приведите определение поверхности уровня функции трех

14.

Как построить график функции двух переменных с помощью

линий уровня функции?

15.

Как построить график функции двух переменных методом

сечений?

16. Что называется пределом функции нескольких переменных?

17.

И

Дайте определение непрерывности функции нескольких пе-

ременных.

18. Дайте определение приращения функции нескольких пере-

менных.

19.

Дайте определение частного приращения по отдельной пе-

ременной функции нескольких переменных.

20.

В чем заключается геометрический смысл приращения

функции нескольких переменных?

21.

В чем заключается геометрический смысл частных прира-

щений функции нескольких переменных?

22.

А

Дайте определение частных производных первого и более

высоких

порядков функции нескольких переменных.

23.

Сформулируйте теорему о равенстве смешанных переменных.

24.

В чем заключается геометрический смысл частных произ-

б

водных первого порядка функции нескольких переменных?

25. Какая функция называется дифференцируемойДв точке?

26.

Сформулируйте нео ходимое условие дифференцируемости

функции нескольких переменных.

вычисляются

27.

Сформулируйте и докажите теорему о существовании частных

производных дифференцируемой функции нескольких переменных.

28.

Является ли д фференцируемая функция непрерывной?

29.

Является ли непрерывная функция дифференцируемой?

30.

Сформул руйте достаточное условие дифференцируемости

С

функц

нескольк х переменных.

31.

Как выч

частные производные сложной функции

нескольк х переменных?

32.

Как

частные производные неявной функции

одной переменной?

33.

Как вычисляются частные производные неявной функции

нескольких переменных?

34.

Дайте определение полного дифференциала первого поряд-

ка функции нескольких переменных.