Материал: 2192

вокруг своей мгновенной оси вращения.

работы

только в этом случае мгновенная

ось

относительного

вращения

точку тела.

При

действ

на

твердое

тело

элементарной

силы Fk , согласно полученным формулам, имеем

M (Fk )d .

Элементарная ра ота системы сил

Д

dA

n

dA

n

n

k

k

0

0

k

k 1Аk 1 k 1

M d ,

R dr

M0 dt

R dr0

где

n

n

M

n

R

Fk ;

M 0

M 0

(Fk ) ;

M (Fk )

k 1

k 1

И

k 1

соответственно являются главным вектором и главными моментами

системы сил относительно точки О и мгновенной оси относительного

вращения, проходящей через полюс.

Таким образом,

M0

(8.19)

т. e. элементарная работа системы сил,

приложенных к свободному твердому

8.2.5. Работа силы трения

силы

трения

является

касательным к траектории движения и

противоположно

вектору

скорости точки

М приложения силы (рис.

С

8.6). Точка М перемещается по шероховатой

поверхности по криволинейной траектории.

я

определяется

по

закону

Если A F s ,

FTP

fN .

Работа с лы трен я на конечном перемещении М0М1 определяется по

M1

M1

fNds .

(8.20)

M

0

M0

TP

где s – дл на дуги М0М1, по которой перемещается точка М.

А

б8.3. Кинетическая энергия

Кинетической энергией материальной точки называют половину

произведения массы точки на квадрат ее скорости

2

T

mV

2

;

T

mV

.

(8.21)

2

2

Квадрат модуля скорости равен скалярному квадрату вектора

скорости, поэтому выражения (8.21) равноценные.

Кинетическая энергия являетсяДскалярной положительной величиной.

В СИ единицей кинетической энергии является джоуль: 1

ж=1 Н·м.

Кинетической энергией механической системы Т называют сумму

кинетических энергий всех точек механической системы, т.е.

n m V 2

n m V 2

T

k k

Иk k

.

(8.22)

k 1

2

k 1

2

формулы для кинетического момента при таком разложении абсолютного

движения, для каждой точки системы Мк (рис. 8.7) rk

rc rk .

И соответственно

Vk

Vc

Vkr ,

(8.23)

времени

k

drk

V

Сгде kr является относительной

dt

скоростью точки, так как подвижная

система

коорд нат

движется

, следовательно,

полная про зводная по

от

r

совпадает с локальной производной,

равной относ тельной скорости точки.

А

Подставляя (8.23) в выражение кинетической энергии абсолютного

движения системыб, т.е. ее движения относительно системы координат

Oxyz, из (8.22) после прео разований получаем

2

mk

Vc

Vkr Vc Vkr

T mkVk

n

n

Д

k 1

2

k 1 2

Vc2

n

n mkV 2

n

mk

kr

Vc

mkVkr

.

(8.24)

2

2

k

1

k 1

k 1

n

n

n

Преобразуем выражение Vc mkVkr

Vc mk drk Vc

d

mk rk .

dt

n

k 1

k 1

dt

k 1

Поскольку

0

,

то

третье

слагаемое

кинетической

mk r mrkr

k 1

энергии Т равно нулю. Учитывая,

что mk

m

– масса системы, и

обозначая Tc(r )

второе слагаемое в (8.24), получим

mV 2

И

T

c

Tc(r) ,

(8.25)

2

2

m V

где Tc(r)

k kr

.

2

движения системы относительно системы координат, движущейся

поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией

системы относительно центра масс. Формула (8.25) выражает теорему

Кенига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается

С

из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу

поступательном движении

ПриT

mk

,

(8.26)

поступательном движении твердого тела скорости всех точек

тела од наковы: Vk

V , поэтому кинетическая энергия тела равна сумме

кинетическ х энерг

й всех его точек

n m V 2

V 2 n

mV 2

k

k

2 k 1

2

k 1 2

где m – масса тела; V – скорость точки тела.

А

бнеподвижной оси

выразить по формуле

Vk

hk ,

где hk – кратчайшее расстояние от точки Мk до оси вращения; ω – угловая

скорость тела.

2

И

Тогда кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме

кинетических энергий всех точек телаД:

n

m

V 2

2

n

2

T

k

k

mk hk2

J z ,

2

2

2

k 1

k 1

2

или

T J

z

,

(8.27)

вычислять двумя способами: по теореме Кенига или при помощи

мгновенного центра скоростей. Плоское движение тела по теореме Кенига

можно рассматр вать как совокупность двух движений: поступательного

С

имеемmVc2

2

б

(р с. 8.8,а) по теореме Кенига

T

2

Jcz

2

.

(8.28)

Д

через центр масс и перпендикулярной плоскости движения (рис. 8.8,а).

Учитывая, что VC=ω·CP (P – мгновенный центрИскоростей, получаем

второй способ определения кинетической энергии твердого тела при

плоском движении (рис. 8.8,б):

T

2

(Jcz m(CP)2 ) J pz

2

,

(8.29)

2

2