Документ: 2192, страницы 231-235 | Студенческое хранилище

9.4.5. Силы инерции при равномерном вращении однородного тонкого стержня вокруг неподвижной оси

Однородный тонкий стержень ОА длиной l и массой m прикреплён шарниром О к вертикальной оси y1 , вращающейся с угловой скоростью ,

С

образуя угол

с вертикалью (рис. 9.7).

и

б

На каждый элементарный участок

стержня длиной x и массой mk

действует центро ежная сила инерции,

равная

m dx a

m dx 2 x sin ,

Ф

m

k

a

k

l

Д

где x – координата элементарного

участка стержня dx.

А

И

Из полученной формулы видно, что эпюра сил инерции Фk является

линейной функцией х,

а равнодействующая Ф этих сил инерции проходит

через центр тяжести треугольной эпюры, т.е. приложена в точке D на

расстоянии OD 2l 3 .

По модулю равнодействующая сил инерции равна произведению

массы стержня на ускорение его центра масс: Ф ma m 2

l

sin .

c

2

Чтобы убедиться в том, что сила инерции Ф является

равнодействующей силой, можно показать, что главный момент

элементарных

сил

инерции Фk стержня относительно точки D равен

нулю:

231

2l	2					2
3	2			l		2	l)cos 0.
M D (Фk ) Фk	3	l x cos		Фk (x		3	l)cos 0.
0	3			2		3
				3l
Момент элементарных	сил		инерции	Фk	относительно центра D
С

представлен в виде двух сумм: первая сумма отрицательная – для сил, расположенных выше точки D, вторая сумма положительная – для сил, расположенных ниже точки D.

Для пр нятых с стем отсчета после замены сумм интегралами

получим
и3
		2l
M		3 m	2	2l
	D	l		3
		0

l

m

dx 2 xsin

2l

l

x

cos .

2

l

3

После

нтегр рован я приходим к выводу о том,

что главный момент

сил

нерц

стержня

относительно

точки

D

приложения

А

равнодействующей действительно равен нулю:

M DФ 0 .

Рассмотримбдругие возможные случаи приведения сил инерции

стержня. Пусть тре уется выполнить приведение сил инерции стержня к

точке О, совпадающей с

шарниром.

ля

приведения

сил инерции

применим правило параллельного переноса силы. В точку О переносим

силу Ф из точки D и добавляем к системе пару сил, момент которой равен

моменту силы Ф относительно точки О:

M OФ Ф2 H (рис. 9.7,б).

ОА

3

В

данном

случае

стержень

находится

в

динамическом

И

стационарном равновесии под действием сил mg ,

Ф

и пары сил с

моментом M OФ.

Д

Теперь рассмотрим вращение стержня ОА, точка О которого

находится

на расстоянии

r0 от оси вращения стержня (рис. 9.7,в).

Равнодействующая трапециевидной эпюры сил инерции стержня проходит

через центр тяжести трапеции ОАВЕ, координата которого определяется по

формуле центра тяжести трапеции (10.26)

раздела «Статика».

Главный момент сил инерции стержня относительно центра приведения равнодействующей силы равен нулю: M DФ 0 .

232

9.4.6. Динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела. Динамическое уравновешивание масс

Пусть твёрдое тело равномерно вращается с угловой скоростью ω

С

вокруг оси, закреплённой в подшипниках А и В (рис. 9.8).

YA,

Найдём динамические реакции ХА,

ZA,

XB,

YВ

подшипников,

действующ е на ось, т. е. реакции,

возникающ е при вращении тела. Пусть

координатные

Pe ,

на тело действуют заданные силы

e

1

P2 ,

....,

Pn .

О означим проекции

главного

вектора

эт

х

сил

на

оси Axyz,

вращающиеся

б

вместе с телом, через

Rxe ,

Rye

,

Rze .

Главные моменты относ тельно тех же

осей обознач м через M xe , M ye ,

M ze . Так

как

тело

вращается

равномерно,

то

M ze

0.

Для определения искомых реакций воспользуемся принципом

Даламбера и, присоединяя к силам, действующим на все точки тела,

соответствующие силы инерции, составим уравнения (9.12) в проекциях на

оси Axyz.

e

ДФ

В нашем случае этиАуравнения принимают вид

X A X B

Rxe

Фx

0;

Y

A

Y

Re Ф

y

0;

Z

A

Re Ф

z

0;

(9.18)

B

y

z

M e

Ф 0;

И

Y b

M

X

B

b M e

M Ф

0.

B

x

y

		Последнее	уравнение M z M z 0		удовлетворяется	тождественно

(так как 0 ) и мы его опускаем. Главный вектор сил инерции Ф mac .
При		const	центр масс С	имеет	только нормальное ускорение
a	cn	2h , где	h – расстояние от точки С до оси вращения.
	cn	c	c
		Следовательно, направление		вектора Ф совпадает с		направлением
ОС.
ОС.		Пунктиром на чертеже показано, как направлен вектор Ф. Если же

привести силы инерции к некоторому центру, например центру А, то они заменятся приложенной в этом центре силой, равной Ф, и парой, момент которой для центра A слагается из M xФ и M Фy . Вычисляя проекции Ф на

233

оси координат и учитывая, что

hc cos xc ;

hc sin yc , где хс

и ус –

координаты центра масс, будем иметь

Ф

x

m 2h cos m 2 x

c

;

Ф

y

m 2h sin m 2 y

c

;

Ф

z

0 .

c

Чтобы найти M xФ

и

M Фy ,

рассмотрим какую-нибудь частицу тела с

массой mk , отстоящую от оси на расстоянии hk .

Для неё при const

сила инерции тоже

имеет

только

центробежную

составляющую

ФЦ m

k

2h , проекц

которой, как и у вектора Ф, равны:

k

Ф m 2 x ;

Ф m 2 y ;

Ф 0 .

выражения

ky

k

kz

kx

k

Ф

z

m

2

y

z

;

M

Ф

z

m

2

x

z

.

СТогда M Ф

k

ky

kx

k

kx

ky

k

оставляя так

е

для всех точек системы, складывая их и

вынося общ й множ тель за ско ку,

иметь

будем

m x

2

2 ,

M Ф m y

k

z

k

2

J

yz

2

;

M Ф

k

z

k

J

xz

(9.19)

x

k

y

k

где J xz

J yz

– соответствующие центробежные моменты инерции.

Подставляя все найденные значения в равенства (9.18), получим

А

X A X B

Фx mxc

2

;

YA YB Фy myc

2

;

(9.20)

Z

Ф

;

X

b M e

J

2 ;

Y b M e J

2

A

z

B

y

xz

B

x

yz

Уравнения (9.20) и определяют динамические реакции, действующие

Д

на ось равномерно вращающегося твёрдого тела, если осью вращения

является ось Oz. Назовём условно статическими реакциями те значения

реакций, которые дают уравнения

(9.20), если

в

них

положить

0

(статическими, в смысле действующими на ось АВ при покое, эти реакции

будут, когда проекции на оси Axyz приложенных сил постоянны).

И

Как видно из уравнений (9.20), динамические реакции могут вообще

быть значительно больше статических, причём это зависит не только от

значения

ω,

но

и

от

величин

хс,

yс,

J xz ,

J yz , характеризующих

распределение масс тела по отношению к оси вращения z.

Однако из уравнений (9.20) видно, что наличие вращения не будет

влиять на величины реакций подшипников А и В, если
хс = 0;	yс = 0;	(9.21)
J xz 0 ;	J yz 0 .	(9.22)

Равенства (9.21) и (9.22) выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статическим

234

реакциям, т.е. они являются условиями динамической уравновешенности масс

тела при его вращении вокруг оси z.

Условия (9.21) означают, что центр масс тела должен лежать на оси

вращения, а условия (9.22) – что ось вращения должна быть главной осью

инерции тела для начала координат А. При одновременном выполнении

условий (9.21) и (9.22) ось Az будет главной центральной осью инерции

С

тела.

Таким образом, динамические реакции, действующие на ось

вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является

одной

з главных центральных осей инерции тела.

Этот вывод остаётся

справедл вым в случае, когда тело вращается неравномерно.

Рассмотренная задача позволяет одновременно уяснить механический

смысл вел ч н J xz

J yz , а именно: центробежные моменты инерции J xz

и J yz

характер зуют степень

динамической

неуравновешенности

масс

тела

его вращен

вокруг оси z.

Динам ческое уравновешивание масс, уравновешивание сил инерции

представляетприсобою важную техническую задачу, которая сводится к

определен ю главных центральных осей инерции тела. Любое тело имеет,

по крайней мере, три взаимно-перпендикулярные главные центральные

оси инерции.

Докажемлюбуюследующее положение:

ось, проведенную в теле, можно

сделать главной центральной осью инерции прибавлением к телу двух

точечных масс.

Пусть для тела массой m величины х

, yс, J

xz

, J

yz

известны и не

с

равны нулю. ПрибавимАк телу две массы m1 и m2 в точках с координатами

(х1, y1, z1) и (х2, y2, z2).

Тогда из формул (9.21) и (9.22) следует, что если удовлетворить

равенства

mx

m x m

x

Д0; my m y m y 0;

(9.23)

c

1 1

2

c

1

2 2

J xz m1x1z1 m2 x2 z2 0;

J yz m1 y1z1 m2 y2 z2 0,

то для полученного тела будет х'с=y'с= J xz' = J yz'

=0, т. е. Oz станет главной

центральной осью инерции.

И

Подбирая массы m1, m2 и их положения так, чтобы удовлетворялись уравнения (9.23), мы и решим поставленную задачу. Частью величин при этом задаются. Например, можно задать значения m1, m2 и z1, z2 (но так, чтобы было z1 ≠ z2), а x1, y1, x2 , y2 найти из уравнений (9.23) и т. д.

235

Материал: 2192

Смотрите также: