Материал: 2192

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Такой метод уравновешивания масс широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов и т. п. При этом окончательная балансировка производится на специальных стендах.

Для определения давлений на ось в отдельных конкретных задачах обычно не пользуются готовыми уравнениями (9.20), а каждый раз непосредственно применяют принцип Даламбера.

9.5. Динамические реакции вращающегося диска

Ось z вращен я д ска, перпендикулярная к его плоскости (рис. 9.9),

смещена от центра масс на расстояние а.
Вес д ска равен Р, угловая			скорость
С
постоянна	равна ω.
Определ ть		д намические	реакции
подшипн ков А В, если ОА = ОВ = h.
Решен е. Проведём вращающиеся вместе с
телом	Oxyz так,	что ы ось Oy прошла через
оси
центр масс С д ска (см. рис. 9.9). Ось Oz будет
главной осью нерц		по отношению к точке О,
поскольку плоскость Oxy является плоскостью

симметрии диска.

Тогда

J xz = J yz =0 и из формул (9.19) и условия const вытекает, что

M 0Ф 0,

следовательно,

силы инерции приводятся к одной

равнодействующей,

проходящей через точку О и направленной вдоль

АФ

линии OС (вдоль оси Oy). По модулю R

mac

a .

Так как силы P и RФ лежат в плоскости Oyz, то реакции

подшипников лежат в этой же плоскости,

т. е. имеют составляющие YA ,

ZA в точке А и YB в точке В. ТогдаД, составляя на основании принципа

Даламбера для всех действующих сил и сил инерции уравнения

равновесия в проекциях на оси Oy и Oz и уравнение моментов

относительно центра А, будем иметь

RФ Y

–Y 0;

– P 0 ;

Y 2h Pa RФh 0 .

Решая эти уравнения, получим

Y Pa 2

P ;

Pa 2

–

P ;

ZA = P .

Реакции YA и YB всё время располагаются в плоскости Oyz, вращающейся вместе с телом.

236

	АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
	10. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В анал т ческой механике изучают равновесие и движение
механическ х с стем на основе принципа возможных перемещений.
С
	10.1. Связи и их классификация
Механ		с стемой	называют	совокупность			связанных
материальных точек		ли тел. Тела, ограничивающие перемещения						точек
механическойстемы, называют связями. Математически связи выражаются
условиями, равенствами или неравенствами, которые накладываются на
уравнен я дв жен я механической системы. Уравнение связи в общем
случае можно выразить в форме
	б							(10.1)
	f(x, у, z; х, y , z ; x ,		y , z ; ...; t) = 0.
Наиболее часто		удем пользоваться связями, в уравнения которых
входят производные по времени от координат не выше первого порядка.
Для механической системы, состоящей					из	n точек,	m уравнений
		А
связей представляются системой уравнений
fs ( xk , yk , zk , xk , yk , zk ; t) = 0, k=1, 2,…,n; s=1, 2,…,m.								(10.2)
Если в уравнения связей (10.2) входят только координаты точек и не
входят производные от координат, то связи называются геометрическими.
			Д
Уравнения геометрических связей для системы имеют вид
	fs ( xk , yk , zk , t) = 0,		k=1, 2,…,n;			s=1, 2,…,m.
Если в уравнения связей, кроме координат входят еще и проекции
скоростей точек на оси координат, то связи называют кинематическими. В
					И
этом случае уравнения связей являются дифференциальными уравнениями
для координат точек. Из геометрических связей дифференцированием
можно получить связи кинематические. Из кинематических связей
геометрические связи получаются не всегда, так как дифференциальные
уравнения не всегда могут быть проинтегрированы.

237

Интегрированием можно превратить кинематические связи в геометрические. Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называют голономными. Неинтегрируемые кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим, являются неголономными.

В дальнейшем изложении неголономные связи не рассматриваются.
При движении механической системы координаты точек и их
С
производные по времени, входящие в уравнения связей, могут зависеть от
времени. Кроме того, в уравнения связей время может входить явно,
помимо коорд нат	х производных. Связи, в уравнения которых время
явно не вход т, называются стационарными или склерономными. Если время

входит явно в уравнен е связи, то связь называется нестационарной или реономной. Нестац онарные связи обычно реализуются посредством движущ хся ли деформ рующихся тел.

В простейшем случае одной точки нестационарная геометрическая удерживающая связь в форме движущейся или деформируемой поверхности меет уравнение f(x, у, z, t) = 0.

называют неосво ождающими или двусторонними, если они
Связи					или
выражаются математ ческими равенствами, и освобождающими
б
односторонн ми, если они выражаются неравенствами.
Для одной точки М1 (рис. 10.1),
скрепленной с концом жесткого стержня,
другой конец которого закреплен в
неподвижной	точке		О,	уравнение
неосвобождающей				голономной
				Д
стационарной геометрической связи имеет
вид		А
x 2+у 2		+z 2 l 2=0,

где l длина стержня.
Если стержень заменить нитью, например, для точки М2		такой же
длины, то связь (нить) будет освобождающей.	И

Если при движении точка М2 окажется от точки О на расстоянии, меньшем длины нити, то нить уже не стесняет свободу перемещения точки. Уравнение неудерживающей односторонней голономной связи

имеет вид
x 2 + у 2 + z 2 l 2 ≤ 0.	(10.3)

Связь (10.3) является односторонней. Она обеспечивает движение точки по сфере радиуса l и внутри сферы по сферическим поверхностям

меньшего радиуса. Удерживающая связь типа z b = 0 обеспечивает движение точки в плоскости. Связь, представленная уравнением z b ≤ 0, является неудерживающей. Она обеспечивает движение точки в плоскости и под плоскостью (между параллельными плоскостями).

238

10.2. Возможные перемещения

Возможными, или виртуальными, перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые

перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Возможным является любое воображаемое бесконечно малое перемещение, которое происходит при фиксированном значении времени

как бы мгновенно, обозначается оно s в отличие от действительного
перемещен я	ds , про сходящего	под действием приложенных сил за
малый промежуток времени dt.		Возможное перемещение	называется
(рис. 10.2).
вариац ей, действ тельное – дифференциалом. Поскольку возможные
Сперемещен я – бесконечно малые величины, то криволинейные
перемещен я	заменяют прямолинейными направленными		отрезками,

отложенными по касательным к траекториям точек; длины этих отрезков вычисляют как дл ны дуг δs=Rδφ. Рассмотрим возможные перемещения точек рычага АВ, закреплённого в точке О цилиндрическим шарниром

	Стержень	АВ меет одну степень
свободы, его возможным перемещением
является		малый	поворот на
угол δφ бесконечновокруг точки О в плоскости,
перпендикулярной оси вращения.
	Концы стержня – точки		и В – должны перемещаться по дугам

АА,	ВВ. Так как эти дуги – величины бесконечно малые, то их заменяют
прямолинейными, направленными по касательным к траекториям точек
векторами sA ,		А
		sB ; модули векторов вычисляют как длины дуг (рис.
10.2): δsА=OA·δφ; sB =OB·δφ.
	В данном примере sA ,		sB – возможные линейные перемещения
точек; δφ – возможное угловое перемещение системы.
			Д

10.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи

Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки
приложения вычисляют по обычным формуламИдля элементарной работы,
например δA= F r =Fxδx+Fyδy+Fzδz и другим.
Для механической системы, состоящей из п точек, к которым
приложены силы, элементарная работа этих сил на каком-либо возможном
перемещении системы соответственно выразится так:
п	(10.4)
А Fk rk .
k 1

239

Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы. Обозначим силы реакций связей для точек системы

Rk .

Идеальными называют связи, у которых сумма элементарных работ сил реакций на любых возможных перемещениях равна нулю:

п
Rk rk 0.	(10.5)
k 1
Рассмотрим примеры идеальных связей.
1. В абсолютно твердом теле точки связаны идеальными связями, под
которыми можно пон мать идеальные невесомые стержни.
лами реакц й связей в этом случае являются внутренние силы, для
Скоторых было доказано, что сумма элементарных работ этих сил на любых
элементарных перемещениях точек тела равна нулю.

Силы2. Абсолютно гладкая поверхность, или абсолютно гладкая линия, является деальнойбсвязью для точки. Возможные перемещения точки с такими связями направлены по касательным к поверхности или линии.

реакц в эт х случаях направлены по нормалям к ним, т.е. перпенд кулярны с лам. Так, например, все шарниры (поверхности) без трения, подв жные неподвижные, являются связями, идеальными для тел, соединенных такимиАсвязями. Шарниры без трения, как связи идеальные, эквивалентны связям между точками в твердом теле.

3. Гибкие нерастяжимые связи типа нитей, канатов, тросов и т.п., соединяющих точки системы, являются связями идеальными. В каждом сечении такой связи силы реакций (силы натяжения) равны по модулю и противоположны по направлениюД, а возможные перемещения у точек приложения сил одни и те же. Сумма элементарных работ сил натяжений для любых сечений таких связей равна нулю.

В принципе возможных перемещений существует прием,

позволяющий		неидеальные		связи превращать в				идеальные. Например,
реакцию Rk							И
	шероховатой поверхности можно разложить на нормальную и
касательную составляющие:				Rk	Nk Fk .
Шероховатая поверхность накладывает на
точку или тело две связи (рис. 10.3). Нормальная
связь Nk является идеальной, а неидеальную
касательную составляющую Fk переводят в
разряд задаваемых сил и вычисляют через
реакцию	нормальной			идеальной		связи:
Fk fNk .		Таким	образом,			реальная
шероховатая		неидеальная			поверхность			Рис. 10.3
превращается в идеальную связь.

240

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос