Документ: 2192, страницы 226-230 | Студенческое хранилище

n

(9.8)

F

R

Ф 0 .

k 1

k

k 1

k

k 1

k

Умножая векторно каждое из соотношений (9.6) слева на радиус-

вектор точки rk

и опять суммируя по точкам системы, получаем

n

rk

Fk

rk

Rk

rk

Фk 0

или

С

k 1

n

M 0

Fk

M

0 Rk

M

0 Фk 0 .

(9.9)

k 1

Векторные уравнения (9.8), (9.9) позволяют получить путем

статике

шесть уравнений

равновесия,

проецирован я

на

оси

координат

аналог чных уравнен ям равновесия сил, приложенных к твёрдому телу в , поэтому данный метод решения задач динамики называют также методом к нетостат ки. Если использовать принцип Даламбера в форме

(9.7), то

бi i

n

0;

(9.10)

F e

Ф

k 1

k

k 1

k

n

M 0

Fke

M

0 Фk 0 ,

(9.11)

А

k 1

т.к. внутренние

силы

системы

по

свойству этих сил

удовлетворяют

условиям

n

0;

n

0 .

F

M

0

F

k 1

k

k 1

k

Если спроецировать уравнения (9.10) и (9.11) на координатные оси, то

опять получим

шесть

уравнений равновесия для сил.

Особенностью

Д

уравнений равновесия сил в форме (9.10), (9.11) является отсутствие в них

внутренних сил, что делает их особенно удобными при решении многих

задач динамики системы. Векторное уравнение (9.10) можно получить также, используя теорему о движении центра масс системы, а уравнение (9.11) – из теоремы об изменении кинетического момента механической

системы. Первое слагаемое в уравнении (9.10) есть главный вектор F e внешних сил, действующих на систему, второе слагаемое – главный вектор

Ф сил инерции. В уравнении (9.11) первое слагаемое – главный момент
M 0e внешних сил относительно центра О, второе слагаемое – главный
момент
	M 0Ф сил инерции. Уравнения (9.10) и (9.11) можно привести к
виду	F e Ф 0;	И
		M 0e M 0Ф 0.

Решение полученных векторных уравнений осуществляют путём проецирования их на оси координат Oxyz:

226

Fxe Фx 0; Fye Фy 0;

F e Ф 0.

z z

M xe M xФ 0;
Мye МФу		(9.12)
Мye МФу	0;	(9.12)
Мe МФ
Мe МФ	0,
z z

откуда следует:

в любой момент времени для движущейся механической

С

системы суммы главных векторов внешних сил и сил инерции или их проекции

на оси, а также сумма главных моментов внешних сил и моментов сил инерции

относительно любого центра (осей координат) равны нулю.

Так м образом, все инерционные воздействия на механическую

систему

ли твёрдое тело

можно

заменить

одной

силой, равной Ф и

инерции

О, и парой сил с моментом, равным

приложенной в центре приведения

Ф

системы

M 0 . Главный вектор с л

d

2

d

2

Ф Ф m a

m

rk

m r ,

б

dt 2

k k

r

k

k k

k

dt 2

но m

mr , где m – масса системы; r

– радиус-вектор центра масс.

k k

c

Следовательно,

Ф mac .

А

(9.13)

Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы

на ускорение центра масс и направлен в сторону, противоположную ускорению.

9.4. Сила инерции тела в частных случаях его движения

Д

Главный вектор сил инерции точек твёрдого тела при любом его

движении определяется уравнением (9.13).

ля

определения главного

момента сил инерции относительно центра необходимо выбрать некоторую геометрическую точку в качестве этого центра, называемую центром приведения. Обычно за такую точку принимают центр масс тела С. Рассмотрим некоторые частные случаи движения тела.

9.4.1. Поступательное движение

В этом случае тело не вращается, следовательно,

M

Ф

m

0 ,

C

r

Ф

r

k

a

k

r

a

mr a

поскольку

k

k k

Иk C C

r

0 .

Инерционные

воздействия

на тело

приводятся к

C

равнодействующей, равной главному вектору сил инерции Ф и

приложенной

в

центре

масс

тела

Ф maС .

Направлена

равнодействующая в сторону, противоположную ускорению центра масс.

227

9.4.2. Вращение симметричного тела вокруг главной центральной оси

Пусть тело имеет плоскость симметрии П, а ось вращения z

перпендикулярна этой плоскости и проходит через центр масс тела С (рис.

9.4). Поместим центр приведения сил инерции в точку С на оси вращения.

С

Тогда главный вектор сил инерции тела равен нулю: Ф 0 , т.к. aС 0 .

Представим

тело

как

совокупность

материальных точек Mi .

У всех

точек

тела

возникают нормальные

касательные ускорения

вращения

n

и

n

ai

соответствующие силы инерции Фi ,

Фi

. Нормальные с лы

нерции всех точек тела

пересекают

ось

и

моменты

не

создают.

б

Главный момент с л инерции формируют

только касательные с лы инерции всех точек

тела. Поэтому главный момент сил инерции

равен

M Ф Ф h

m h2 . Учитывая, что

z

i i

i

J

z

m h2 ,

(9.14)

используя (9.14), получим

i i

M zФ J z .

(9.15)

Инерционные воздействия на тело приводятся к паре сил,

лежащей в

Д

плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Момент пары сил равен

произведению моментаАинерции тела относительно оси вращения на угловое

ускорение и направлен в сторону, противоположную угловому ускорению. При

решении задач находят модуль момента

M zФ J z

,

(9.16)

а его направление показывают на рисунке дуговой стрелкой (см. рис. 9.5).

9.4.3. Вращение тела вокруг оси,

перпендикулярной плоскости симметрии

Рассмотрим тело, имеющее плоскость симметрии и вращающееся

вокруг неподвижной оси, перпендикулярнойИэтой плоскости и не

проходящей через центр масс тела (рис. 9.5,а). В этом случае неподвижная

ось вращения тела является главной осью инерции тела в точке О. Каждой

точке

M i'

(см. рис. 9.5,а)

соответствует

точка Mi'' такой

же массы,

симметричная относительно заданной плоскости (на рис. 9.5,а эта плоскость заштрихована). Из кинематики известно, что ускорения всех точек, лежащих на одной прямой, параллельной оси вращения,

228



геометрически равны. Поэтому силы инерции Фi	mi ai	и Фi	mi ai
точек M i' и Mi'' геометрически равны и их равнодействующая приложена к
точке M i , лежащей в плоскости симметрии. Отсюда следует, что в точке
M i приложена равнодействующая сил инерции всех точек тела,			лежащих
С
на перпендикуляре к плоскости симметрии, восстановленном в этой точке.

Таким образом, сложение сил инерции точек тела в этом случае движения сводится к сложению сил инерции точек плоской материальной фигуры, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращен я (р с. 9.5,б).

и
		б
		А
	Приведём силы инерции точек фигуры к центру её вращения О. При
		Д
приведении получим силу, приложенную в этом центре, и пару сил,
лежащую в плоскости фигуры.
	Сила инерции равна главному вектору, определяемому формулой
Ф maС .
	Для определения момента пары M Ф разложим силу инерции каждой
			И

точки на вращательную и центробежную силы инерции, направленные противоположно вращательному и центростремительному ускорениям этой точки.

Их модули определим по формулам
ФВ m aВ m r ;		ФЦ m aЦ m r 2 .
i	i i i i	i	i i	i i

229

Так как линии действия центробежных сил инерции проходят через центр вращения О, то искомый момент пары равен сумме моментов

вращательных сил инерции относительно точки О: M Ф M0Ф mi ri2 . Таким образом, алгебраическая величина момента пары, составленной

силами инерции,		M Ф – J z , где Jz – момент инерции тела относительно
С
оси вращения; – алгебраическая величина углового ускорения тела.
Вектор M Ф		направлен перпендикулярно плоскости фигуры, т. е.
совпадает с осью вращения тела и направлен противоположно вектору
углового ускорен		я:
плоскости
			M Ф J z .
Как звестно			з стат ки, силу Ф* и пару с моментом M Ф,			лежащие в
одной		, можно заменить одной действующей силой Ф,
	образом
геометр чески равной главному вектору (рис. 9.5,в).
Л н я действ я этой силы отстоит от центра приведения О на
расстоян				M Ф
			А
			h =	Ф	.	(9.17)
Таким			, при вращении твёрдого тела, имеющего плоскость

материальной симметрии, вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, силы инерции точек тела приводятся к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

	9.4.4. Плоское движение симметричного тела
Пусть твёрдое тело имеет плоскость
материальной	симметрии	и	совершает
движение, при котором		все	точки тела
перемещаются	параллельно		Д
		этой плоскости		И
(рис. 9.6). Плоское движение тела слагается из
поступательного движения вместе с центром
масс и вращательного вокруг оси, проходящей
через центр масс перпендикулярно плоскости

материальной симметрии.


Силы инерции приводятся к главному вектору	Ф mac ,
приложенному к центру масс и к паре сил с моментом	M cxФ – Jcx .

Главный вектор сил инерции и результирующая пара сил инерции так же, как и центр масс тела, лежат в плоскости материальной симметрии.

230

Материал: 2192

Смотрите также: