Материал: 2192

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Ньютона и расчетной схемой (см. рис. 7.2,а), когда система двух тел рассматривается как единая механическая система, со вторым телом которой связана неподвижная система координат.

В уравнении принципа Даламбера для несвободной материальной

точки левая часть уравнения (9.3) представляет собой силу инерции Ф, которая является силой реакции отброшенной гравитационной части

механической системы. Заменяя силу инерции Ф произведением массы на ускорение точки, получаем основное уравнение динамики (9.1). Таким образом, в случае д намики несвободной материальной точки основное уравнен е д нам ки (9.1) и уравнение Даламбера (9.3) равноценны. В

рассмотренном случае в задачах движения материальной точки

использован е понят я «сила инерции» не дает ничего нового,

т.к.про сход т математ ческая замена силы инерции произведением

массы на ускорен е. В задачах определения сил реакций связей сила

инерции

спользуется как реальная сила наряду с другими действующими

силами

наход тся в согласии с принципом независимого действия сил.

Даламбера, положенные в основу создания уравнений движения

Идеи

несвободной матер альной точки и механической системы, оказались

плодотворными

непрерывно развивались в течение последних столетий.

В учебной и технической литературе бытует мнение о том, что основное

уравнение

динамики

Ньютона

для

решения

задач

динамики

удобно

материальной точки, а принцип Даламбера – для решения задач динамики

сложных механических систем.

На рис. 9.2 показаны расчётные схемы для решения различных задач

динамики

точки

одновременно

при помощи основного

уравнения

динамики точки и принципа Даламбера.

9.2.1. Свободное падение материальной точки

у поверхности Земли

Точка массой m падает с высоты h. В начале падения при t=0 x0 0 ;

( )

0 .

Определить

уравнение

скорости

точки x t

уравнение

( )

, принимая в пределах ограниченного изменения

перемещения точки x t

высоты h ускорение g постоянным (рис. 9.2,1). Для соответствующих задач слева показаны расчетные схемы по Ньютону, а справа – по Даламберу для материальной точки. Отличие этих схем состоит в том, что левые расчетные схемы содержат активные силы, приложенные к точке. При этом равнодействующая этих сил совпадает с направлением ускорения точки.

221

С
и
б
А
Д
Рис. 9.2	И
Рис. 9.2

В даламберовых схемах показаны действующие силы и реакции связей, а также сила инерции, которая является мерой противодействия

активным силам при движении точки.

Сила инерции пропорциональна массе, при этом коэффициентом

пропорциональности является ускорение Ф ma .

Кеплер считал, что сила инерции есть сила сопротивления всякому изменению состояния движения. Аналогичных суждений придерживались Ньютон, Даламбер и другие.

222

Несмотря на различные исходные расчетные схемы и различные векторные уравнения для решения задачи, последующие проекции этих уравнений на координатную ось х дают эквивалентные дифференциальные уравнения. Для свободно падающего тела (см. рис.9.2,1) имеем для левой и правой расчетных схем

							t	2
		a g ;	dx	g ;		C1 ; x g			C1t C2 .
mx	mg ; x		dt		x gt		2
Из начальных условий находим С1=0;						С2=0.
Получен од наковый результат решения задачи при разных исходных
начальных уравнен ях разными способами.						постоянным			ускорением	a ,
произведенВ каб не л фта, опускающейся с
В рассмотренной задаче сила инерции Ф математически заменяется
Сем массы тела на ускорение и никаких дополнительных сил,
действующ х на точку, не появляется.
	б
		9.2.2. Опускание кабины лифта

определ ть с лу нормального давления N тела M на основание лифта

(рис. 9.2,2). Масса тела m, начальные условия следующие: при t=0 x0 0 ;
x0 0 . Векторные уравнения динамики, по Ньютону и Даламберу, имеют

различную математическую форму записи и разное физическое
содержание.
	При помощи основного уравнения динамики получаем
		mx mg N ; ma	Д
			mg N ;	N mg ma .

	С помощью принципаАДаламбера запишем уравнение проекций сил на
ось x:		X i Ф mg N 0 ;		N mg Ф.
	Полученные результаты показывают, что в рассмотренной задаче в
основном уравнении динамики и в принципе аламбера сила инерции Ф
				И
является реальной силой, т.к. нормальная сила равна разности сил тяжести
и инерции.
	При N=0 получаем явление невесомости, при котором сила тяжести
G	уравновешена силой инерции Ф. Сила инерции Ф в данном примере
является силой противодействия приложенным силам G N .
	9.2.3. Движение тела по наклонной плоскости под действием силы,
		пропорциональной времени
	Тело движется по гладкой наклонной плоскости. Сила F kt , угол
наклонной плоскости ; при t=0			x0 0 ;	x0 0 . Определить уравнения

скорости и перемещения тела по гладкой наклонной плоскости.

223

Основное уравнение динамики Ньютона и векторное уравнение принципа Даламбера для несвободной материальной точки представлены на рис. 9.2,3. Дифференциальные уравнения движения для обоих случаев являются одинаковыми:

С	mx mg sin kt ; x g sin m t ;
						k
		k t 2		t 2	k t3
			С1; x g sin				С1t C2 .


x g sin t		m 2		2	m 6

В данном случае с ла инерции Ф является силой противодействия
силам P F N .
горизонтальной
9.2.4. Вращение тела в горизонтальной плоскости
Тело массой m, пр нимаемое за материальную точку М, вращается в
б
плоскости вокруг вертикальной оси на стержне длиной

х=r с постоянной угловой скоростью (рис. 9.2,4).

Определ ть ус л е в стержне и дать характеристику движения тела. В данном случае точка М совершает вращательное движение, поэтому

для пр менен я пр Анципа осво ождаемости от связей необходимо мысленно прекратить вращение системы, зафиксировать ее параметры, применить к точке принцип осво ождаемости от связей, с помощью которого внутренние силы реакции системы переводятся в разряд внешних сил, действующих на точку.

На рис. 9.2,4 показаны силы, действующие на точку М с использованием принципа освобождаемости от связей, и приведены векторные уравнения движения точки для основного уравнения динамики Ньютона и принципа Даламбера. Усилие в стержне Т, согласно принципу

Даламбера, равно силе инерции Ф.		В данной задаче сила инерции Ф
			И
является реальной единственной действующей силой, создающей
динамическую силу реакции Т в Дстержне. По Ньютону, mx T ;				по
Даламберу, Ф T .
	T mr 2 ;	Т=Ф.
При условии const сила инерции Ф и реакция связи Т находятся в
стационарном равновесии.
9.2.5. Равновесие математического маятника при вращении
Маятник и кронштейн вращаются с угловой скоростью

(рис. 9.3,1). Маятник находится в относительном покое в неинерциальной системе координат Оху.

224

Согласно принципу Даламбера, силы, действующие на маятник,

находятся в стационарном равновесии: Ф N P .			Решаем уравнения
равновесия:
Xi 0;	Ф N sin ; Yi 0; P N cos . Откуда Ф P tg .
При отсутствии вращения маятник находится в отвесном положении:
0; 0.
В общем случае сила инерции Фобеспечивает равновесие маятника
(рис. 9.3,1)
С		Ф m 2 (l OM sin ) .	(9.5)
С
9.3. Пр нц п Даламбера для системы материальных точек
Рассмотр	с стему из n материальных точек.		В каждой точке

системы в общем случае приложены равнодействующая активных сил Fk
и равнодействующая реакций связей Rk . Применяя принцип Даламбера к
каждойполучимточке с стемы,
Fk Rk Фk 0 ,	(9.6)

где Фk mk ak – сила инерции k-й точки.

Векторные уравнения (9.6) выражают сущность принципа Даламбера:
	б
при движении механической системы активная сила и реакция связи вместе с
силой инерции образуют уравновешенную систему сил для каждой точки
системы.	А
системы.
Принцип Даламбера для системы
по своему содержанию не отличается
от уравнений движения всех её точек.
Представим равнодействующую		силу,
приложенную к каждой точке системы,
разложенную не на активную силу и
реакцию связей, а на внутреннююДи
внешнюю силы по отношению ко всей
системе (рис. 9.3):					Рис. 9.3
	F R		F e F i .
	k	k	k		k
Тогда принцип Даламбера для системы можноИпредставить в другой
форме:
	F e	F i		Ф	0 .	(9.7)
	k		k	k

Из принципа Даламбера для системы в формах (9.6) и (9.7) можно получить следствия в виде уравнений действующих сил и сил инерции. Если просуммировать уравнения (9.6) по всем точкам системы, то

225

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос