Документ: 2192, страницы 216-220 | Студенческое хранилище

где J pz – момент инерции тела относительно оси Рz, проходящей через

мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения.

Кинетическая энергия тела при плоском движении равна кинетической энергии этого тела при вращении относительно МЦС. Таким образом, плоское

движение, состоящее из двух движений (поступательного и

С

вращательного), можно заменять одним вращением вокруг мгновенного

центра скоростей.

8.3.6. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для матер альной точки массой m,

движущейся под действием силы

радиуса

m

dV

F

F , основной закон д намики можно представить в виде

dt

.

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал

б

-вектора точки dr , имеем

mdV

dr

Fdr

или

mVdV Fdr,

dr

dt

где V

= dt

– скорость точки.

Уч тывая, что

dA Fdr

– элементарная работа, получаем

А

mVdV dA .

mV 2

Так как

mV 2

mVdV

d

,

2

Д

mV

2

то окончательно

d

2

dA.

(8.30)

Формула (8.30) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической

энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.
	Если обе части выражения (8.30)						И
dA	N есть мощность, то теорему можно также выразить в виде
dt			mV 2
		d	mV 2
						N .		(8.31)
						N .		(8.31)
		dt		2
		dt		2
	Производная от кинетической энергии точки по времени равна мощности,
подводимой к этой точке.
	Интегрируя обе части (8.30) от точки М0							до точки М, получаем
теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме
	mV 2		–	mV 2		A,		(8.32)
	2		–	2	0	A,		(8.32)
	2			2

216

т.е. изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

8.3.7. Сжатие пружины падающим грузом

Тело, имеющее силу тяжести	P ,	падает без
С	с	высоты h.
начальной скорости на пружину	с	высоты h.

Определить наибольшее сжатие пружины x, если статическое сжат е ее под действием силы тяжести этого тела равно xСТ. Массой пружины можно

пренебречь (р с. 8.9).
изменен
Пр	к дв жению тела теорему об
к	нет ческой энергии точки
	mV 2	–	mV 2
			0 A .
большем
	2		2
Пр мем за начальное положение тела начало его падения с высоты h,

а за конечное – момент максимального сжатия пружины. Изменение


кинетической энерг	за этот промежуток времени равно нулю, так как
V0=0 и при на	сжатии пружины V=0.
	А
Следовательно, ра ота		=0, т.к. положительная работа падения тела с

высоты (h+x) равна отрицательной работе сжатия пружины. На тело после его соприкосновения с пружиной действуют две силы: сила тяжести тела

P и сила упругости пружины. Сила P совершает работу на перемещении

(h+x), сила упругости – на перемещении х.

Д

Следовательно, A

P(h x)

c

x

2

0 .

2

Р

В положении статического равновесия Р=схCT, а с

.

хСТ

h x

1

x2 0 или

x2

И

Поэтому

2xСТ x 2xСТ h 0.

2xСТ

Решая это квадратное уравнение, имеем

x = x + x2

+ 2x h .

СТ

Знак плюс перед корнем выбран потому, что х>хCT. При h=0 наибольшее сжатие пружины х=2хCT.

Режим падения груза на упругую систему с нулевой высоты называют

мгновенным приложением постоянной силы к упругой механической системе.

Максимальная динамическая сила в пружине при мгновенном ее нагружении связана со статической силой Р выражением

PДИН K Д Р.

217

Коэффициент K Д в технике называют коэффициентом динамичности,

который равен отношению динамической силы к статической. Согласно выполненному исследованию, при h=0 K Д =2. При ударе двух жестких тел

K Д может принимать значения K Д 100 .

8.3.8. Теорема об изменении кинетической энергии системы

К нет ческую энерг ю Т механической системы можно представить как сумму к нет ческ х энергий всех точек механической системы.

Возьмем про зводную по времени от кинетической энергии стемы

С

n 1

d

n

dV

n

dT d

n m V 2

2

k k

mkVk

k

mk akVk

dt

2

mk

dt

Vk

dt

dt k 1

k 12

k 1

n

N e N i .

F e F i V

k

1

k

механической

Итак,

dT

N e

N i .

(8.33)

dt

Получена теорема

изменении кинетической энергии механической

об

системы в дифференциальной форме.

Теорема. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил

системы.
Разделим переменныеАв уравнении и выполним интегрирование левой
и правой частей:
T	t		t	N i dt ,
dT		N edt		N i dt ,
To	0		0
T T		Ae	Ai			(8.34)
0		1 2		1 2 .		(8.34)
		Д
Уравнение (8.34) выражает теорему об изменении кинетической
энергии системы в конечной (интегральной) форме.
					И

Теорема. Изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ внешних и

внутренних сил на этом же перемещении.

Если система содержит недеформируемые абсолютно твердые тела, то работа внутренних сил системы равна нулю:

n Aki 0 . k 1

218

9.ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

9.1.Принцип Даламбера для материальной точки

Законы Ньютона сначала начали применяться для исследования
движения планет Солнечной системы и изучения движения свободных
С
материальных тел вблизи поверхности Земли. Впоследствии при помощи
основного уравнения динамики Ньютона стали успешно решаться задачи
движен я тел		определения реакций связей несвободной материальной
точки.	Для зучен я			движения	несвободных	механических	систем
реакции
Даламбер предлож л принцип, получивший название принципа
Даламбера, сущность которого в современном понимании заключается не
только в пр влечен				к рассмотрению дополнительных сил, называемых
силами	нерц	,	а	главным образом в применении принципа
	освоб
освобождаемости от связей к механической системе и получению,
благодаря этому,		пр нц па расчета, позволяющего определять не только
	внешн х опор, но и реакции связей отдельных частей системы.
При помощи акс омы				ождаемости от связей и аксиомы независимого
действ я с л уравнен я движения несвободной материальной точки
являются такими			же,	как и для	свободной	точки, если к	силам,

действующим на точку, до авить силы реакции отброшенных связей. Принцип Далам ера в сочетании с принципом освобождаемости от

связей для несво одной материальной точки эквивалентен основному

уравнению динамики Ньютона и , по существу, реализует третий				закон
Ньютона.	Д
Основное уравнениеАдинамики материальной точки массой m
относительно инерциальной системы отсчёта под действием приложенных
активных сил и реакций связей имеет вид (рис. 9.1)
	ma F R ,			(9.1)
где m – масса точки; a		И
	– ускорение точки; F		– равнодействующая
активных сил; R – равнодействующая сил реакций связей.
Назовём вектором силы инерции Ф произведение массы точки на
вектор ускорения, взятое с обратным знаком:
	Ф ma .			(9.2)
Если подставить силу инерции в левую часть уравнения (9.1),
получим основное уравнение динамики в форме Даламбера
	Ф F R .			(9.3)

Уравнение (9.3) показывает, что сила инерции Ф, действующая на точку,

является силой, противодействующей активным силам и силам реакций.

Форма записи уравнений движения точки М в виде (9.3) соответствует расчетной схеме (рис. 7.2,б), с помощью которой углубляется современное

219

понятие силы инерции несвободной материальной точки: применение принципа освобождаемости от связей к несвободной материальной точке связано с учетом сил реакций связи, а также силы инерции точки, которая

представляет собой силу реакции отсеченного источника гравитационного или других полей на рассматриваемую точку. Сила инерции является

нестационарной силой, т.к. изменяется с течением времени.
С
	Как видим, применение принципа Даламбера не связано с
дополнительным привлечением к рассмотрению каких-либо фиктивных
сил.	Пр нц п		освобождаемости от		связей	позволяет превратить
внутренн е с лы с стемы в реальные действующие внешние силы. При
этом	с ла нерц			есть сила реакции, противодействующая			силам,
части F R Ф 0 .							(9.4)
приложенным к точке, которая характеризует способность массы точки
сопрот вляться			зменен ю скорости под действием всех сил правой части
уравнен я (9.3).
	Уравнен ю (9.3) можно придать вид уравнения равновесия без правой
		несвободной
	В общем случае форма записи принципа Даламбера (9.4) для
материальной точки есть равенство нулю векторной суммы активных сил, сил
				А
реакции и сил инерции				лю ые моменты времени. Форма записи уравнения
движения				материальной	точки,	по Даламберу,	в виде

уравнения без правой части напоминает уравнение равновесия статики, но отличается от него тем, что в динамике силы являются переменными

величинами, при этом равенство		сил соблюдается в любые моменты
		Д
времени. Для решения векторного уравнения (9.4) выполняют его
проецирование на оси координат
Fx Rx Фx 0 ;	Fy Ry Фy 0 ;		Fz Rz Фz 0 .
Представленные уравнения		отражают принцип		аламбера для
		И

несвободной материальной точки в проекциях на оси декартовых координат.

9.2. Многообразие физических свойств силы инерции материальной точки

Выполним сравнение двух форм записи основного уравнения динамики материальной точки в виде основного уравнения динамики Ньютона и в виде принципа Даламбера для несвободной материальной точки. Уравнение (9.1) – основное уравнение динамики точки по Ньютону

– с точки зрения векторной алгебры представляет собой равенство двух векторов левой и правой частей уравнения, равных по модулю и одинаково направленных. Это находится в полном согласии со вторым законом

220

Материал: 2192

Смотрите также: