Материал: 2192

dA F

dr

cos F dr.

(8.4)

r по осям координат:

F Fxi Fy j Fz k ;

r xi yj zk . Из последней

С

Подставляя в (8.4) значения F и d r , получаем

dA Fxdx Fydy Fz dz.

(8.5)

Формулу (8.5) называют аналитическим выражением элементарной

работы

лы.

Выражен е

для элементарной работы (8.5) по форме

напоминает полный д фференциал функции координат точки, однако в

действ

в

щем

случае элементарная

работа не

является

полным

д фференц алом.

Элементарная

работа

является

полным

дифференц алом функц и координат точки только для специального

класса с л – так называемых консервативных потенциальных сил, которые

рассмотрены

же.

М0 до точкибM (рис. 8.1) разо ьем это перемещение на n элементарных

1

A lim Σn dAk ,

перемещений. Тогда ра оту

можно выразить формулой

n k=1

Так как сумма Ав формуле работы является интегральной суммой

определения

криволинейного

интеграла на

участке кривой М0 M1 , то

заменим ее интегралом

M1

A F ds .

(8.6)

M

Д0

Используя другие выражения для элементарной работы, полную

работу силы на конечном перемещении М0М можно представить в разных

M1

M1

И

формах:

A

Fdr

(Fxdx Fy dy

Fz dz)

(8.7)

M0

M0

или

A t FVdt ,

(8.8)

0

перемещении;

1

k

С

2) работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же

силы на составляющих перемещениях, на которые разбито все

перемещен е.

элементарной работы с лы, имеем

б

dr ... Fk dr .

R dr (F1 F2

... Fk ) dr F1 dr F2

Первое свойство

полного промежутка интегрирования на составляющие, причем

определенный интеграл по полному промежутку интегрирования равен

сумме интегралов по составляющим. Единицей полной работы, так же, как

и элементарной, в СИ является джоуль: 1 ж=1 Н·м. Если проекция силы

на направление скорости

получим A F s , где s –

А

Д

мощность можно представить в виде

dt

(8.9)

Таким образом, мощность равна скалярномуИпроизведению векторов

силы и скорости точки. Из формулы (8.9) следует, что чем больше скорость,

N FV const , то

приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать

движение этой точки. Но в природе имеется случай работы силы тяжести,

которая не зависит от вида траектории, а определяется по начальному и

С

конечному положениям точки приложения силы. Укажем случаи, когда

работа на конечном перемещении равна нулю. Так, если сила приложена в

мгновенном центре скоростей плоского тела, то при перемещении тела за

период t точка пр ложения силы осталась неподвижной и ее работа равна

тяжести

нулю. Аналог чно работа силы сцепления будет равна нулю, если

отсутствует относ

тельное перемещение тел.

8.2.1. Ра ота силы тяжести

лу

будут

G материальной точки массой т вблизи поверхности

Земли можно сч тать постоянной, равной mg и направленной по вертикали

Если взять

у

которых ось Оz направлена по вертикали

вверх (рис. 8.2), то проекции силы G

Gx 0;

Gy 0;

Gz mg.

Вычисляя

ра оту

силы G

на

перемещении от точки M0

до точки М1

по

формуле (8.5), имеем А

M

z

A 1 (Gxdx

Gy dy Gz dz) mg 1dz mg(z1 z0 ) mg(z0 z1) ,

M0

z0

или

A mgh,

(8.10)

Д

И

A=±Gh.

(8.11)

8.2.2. Работа линейной силы упругости

Линейной

силой

упругости

называют

силу,

которая

тела.

(8.15)

еслиA = ± M z ,

0

В частном случае,

момент силы относительно оси вращения

б

Работа полож тельна, если направление момента совпадает с

А

направлением вращения тела. Мощность в случае вращения твердого тела

вокруг неподвижной оси определяется по выражению

N

dA

M z .

(8.16)

dt

dt

Д

Мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной

оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения тела на

угловую скорость. Знак мощности определяется аналогично знаку работы.

8.2.4. Работа силы в общем случае движения свободного

твердого тела

И

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки М, в

которой приложена сила F (рис. 8.5),

V V0

r , следовательно,

dA F

Vdt F

V0dt F ( r )dt .

, имеем

Учитывая, что V0dt dr0 и

F ( r ) (r

F ) M 0

(8.17)