Документ: 2192, страницы 201-205 | Студенческое хранилище

сопротивляющейся среде. Поэтому обычно не делают различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей F , а массу точки m, получаем

ma F .

7.4.1. Дифференциальные уравнения движения материальной

точки в декартовых координатах

Если ускорен е а точки М определить

как вторую про зводную от радиуса-вектора

r

(р с.

7.3),

то

дифференциальное

уравнен е дв жен я материальной точки

С

можно зап сать в в де

d

2

m

r

(7.6)

dt 2

F.

спроец ровать о е части векторного уравнения (7.6) на

Если

координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения

движен я точки в декартовых осях координат:

max = Fx; may = Fy; maz = Fz.

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через

б

производные:

d 2 x

ах

dV

x

x; ау

dVу

d 2

у

у;

аz

dV

z

d 2 z

z.

dt 2

dt

2

dt

dt 2

dt

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в

А

прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

mx Fx ;

mу Fу;

mz Fz .

(7.7)

Частные случаи. Если известно, что материальная точка движется в

одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость

Оxy, имеем

Д

Fx ;

(7.8)

mx

mу Fу .

В этом случае z=0 и, следовательно,

Fz = 0.

В случае движения точки по прямой линии, направив по ней

координатную

ось

Оx,

получим

одно

дифференциальное уравнение

прямолинейного движения точки

И

(7.9)

mx Fx .

7.4.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях координат

201

Первая задача.

В

разделе

«Кинематика»

введены

естественные оси координат, под которыми

понимают подвижную систему координат τ n b,

начало которой совпадает с движущейся точкой М.

Для естественных осей координат (рис. 7.4),

проецируя обе части уравнений (7.6) на эти оси,

С

получаем

maτ =Fτ;

man = Fn;

mab = Fb ,

где аτ, аn, аb

Fτ,

Fn, Fb –

соответственно проекции ускорения и

равнодействующей с лы на касательную, главную нормаль и бинормаль к

траектор

в рассматр ваемом положении движущейся точки. Определим

ускорен я точки

a

d 2s

; an

V 2

;

ab=0, где ρ –

радиус кривизны

dt 2

траектор .

б

Тогда д фференц альные уравнения движения точки в проекциях на

естественныеосимеют вид

m d 2s

F ;

m

V 2

F ; 0=Fb .

(7.10)

А

dt2

n

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать проекции ускорения на эти оси.

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки в той или другой системе координат, можно решать две основные

задачи динамики точки.

7.5. Две основныеДействительнозадачи динамики точки

Зная массу точки и закон её движения, можно найти

силу, действующую на точку. , если, например, заданы

уравнения движения точки в декартовой системе координат

x=f1(t);

у=f2(t);

z=f3(t),

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных

уравнений движения точки, т. е.

F m

d 2 x

; F

m

d 2 y

;

F m

d 2 z

.

x

dt 2

yИz

dt

2

dt 2

Зная проекции силы на координатные оси, можно определить модуль

силы и косинусы углов силы с осями координат:

F

2 F 2

F z2 ;

(7.11)

x

y

202

		F				Fy			F
cos(F	, x)	x	;	cos(F	, y)		; cos(F	, z)	z	.	(7.12)
						F
		F							F

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить уравнение движения этой точки. Рассмотрим решение задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае

сила F , а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, координат движущейся точки, скорости, ускорения и т.д. Для простоты огран чимся случаем зависимости силы и ее проекций

на оси коорд нат от времени, координат и скорости.
Д фференц альные уравнения движения точки (7.7) имеют вид
Сmx F (t; x, y, z; x, y	, z); my F	y	(t; x, y, z; x, y, z);	mz F (t; x, y, z; x, y	, z) .
x		y		x
Для нахожден я уравнений движения точки в декартовых
координатах	мо проинтегрировать систему трех обыкновенных

альных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных
альных уравнений известно, что решение одного
дифференц		второго	порядка	содержит	две
дифференц ального	уравнения
произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных
дифференциальных	уравнений	второго	порядка	имеется	шесть

произвольных постоянных: C1,…, C6.
необход
Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения
материальной	точки,	а	выделяет	целый	класс	движений,
характеризующийся шестью произвольными постоянными. Действующая
сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и
положение точки на траекторииАмогут зависеть еще от скорости, которая
сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки.
Так, например, материальная точка, двигаясь вблизи поверхности Земли
под действием	силы тяжести,		имеет ускорение g ,		если	не учитывать

сопротивление воздуха. Но точкаДбудет иметь различные скорости и положение в пространстве в один и тот же момент времени и различную форму траектории в зависимости от того, из какой точки пространства

началось движение и с какой по величине и направлению начальной скоростью.

Для выделения конкретного вида движенияИматериальной точки

надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий задают начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 (рис. 7.5), задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости на координатные

оси: х=х0; у=у0; z=z0; х V0x ; y V0 y ; z V0z . (7.13)

203

Значения параметров при начальных условиях подставляют в уравнения, полученные при интегрировании исходных дифференциальных уравнений и определяют значение постоянных интегрирования С1,…,С6. После этого уравнения переписывают с

Сучетом найденных значений постоянных и определяют искомые параметры.

ледует обрат ть внимание, что составленные дифференциальные

уравнен я оп сывают движение точки лишь до тех пор, пока на нее действуют вошедш е в правые части уравнений силы и пока сохраняются соответствующ е законы взаимодействия. Если с какого-то момента времени действ я некоторых сил прекращаются или начинают действовать новые с лы, то для последующего движения надо составлять новые дифференц альные уравнения; при этом положение и скорость точки в

движеня. Кроме того, в некоторых случаях закон взаимодействия может

конце предшествующего движения будут начальными для нового

быть так м, что при зменении направления движения будет изменяться

вид д фференц ального уравнения (или уравнений) этого движения

свой вид при измененииАнаправления движения, если такое изменение может произойти. Когда вид уравнения изменяется, надо для движений в одну и в другую сторону составлятьДсвои уравнения, поступая с начальными условиями так же, как в случае, когда на точку начинают

(например, при действии силы трения или силы сопротивления,
пропорциональнойбквадрату скорости).	Поэтому,	составив
дифференциальное уравнение движения, надо проверить, сохраняет ли оно

действовать новые силы. Прежде чем интегрировать составленные дифференциальные уравнения движения, надо все переменные силы в

правых частях уравнений представить в явном виде как функции
соответствующих аргументов.	И

При движении точки в плоскости Оxy		имеется два

дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные. Постоянные определяются из

начальных условий: при t=t0=0	x=x0; y=y0;
		х V0x ;	y V0 y .

В случае прямолинейного движения точки имеется только одно дифференциальное уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные. Для их определения необходимо задать начальные условия:

при t=t0=0	x=x0;	х V0x .

204

8. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

8.1. Уравнения работы силы

8.1.1. Элементарная работа силы

Для рассмотрения теоремы об изменении кинетической энергии
С
необходимо использовать понятие работа силы и рассмотреть способы ее
вычисления.				F
Элементарная работа dА силы					на
элементарном	перемещении	ds		равна
скорости
произведен ю касательной составляющей силы
на элементарное перемещение (рис. 8.1):
	dA F ds ,				(8.1)
где F – проекц я с лы F на направление
точки пр ложения			или		на
направлен е элементарного перемещения.
Элементарное перемещение ds по модулю совпадает с элементарным
	А
изменен ем рад	уса-вектора ds		dr
б
F =Fсоsφ,						(8.2)
где φ – угол между вектором силы и вектором скорости точки М.
Выражение элементарной ра оты (8.1) можно представить в виде
			Д			(8.3)
		dA=Fdscosφ.

Элементарная работа равна произведению модуля силы, модуля перемещения силы и косинуса угла между векторами силы и перемещения.

	Элементарная работа является скалярной величиной. Ее знак
определяется знаком проекции силы F на положительное перемещение
	n	И
ds.	При F >0 элементарная работа dA>0, а при F < 0		dA<0.
	Отметим частные случаи, которые можно получить из (8.3):
	φ = 0°, dA=Fds; φ = 90°, dA =0;	φ =180°,	dA= –Fds.

Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей силы F всегда равна нулю. Приведем другие

формулы для вычисления элементарной работы силы. з кинематики известно, что вектор скорости точки V drdt . Модуль вектора скорости V drdt , т.е. дифференциал дуги есть модуль дифференциала радиуса-

вектора точки приложения силы. Тогда элементарную работу можно записать в следующем виде:

205

Материал: 2192

Смотрите также: