Материал: 2192

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теорема высот треугольника сформулирована для произвольного

треугольн ка,

поэтому можно использовать ее для частного случая,

когда

треугольн к

прямоугольный (рис. 2.7),

где сила F, совпадающая с

АВС

 

 

 

 

 

 

относительно вершины С

основан ем АВ=с

 

 

 

вращать

тело

прямого угла. Плечо h силы

F

тоже определяется по теореме высот

треугольн ка

 

h

2

 

a b 2

 

 

(2.14)

 

 

 

.

 

 

стремится

c

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

ВНОВЕСИЯ СИЛ

 

б

 

 

 

3.1. Условия равновесия пространственной системы сил

Векторная форма условий равновесия сил формулируется следующим

 

 

УРАВНЕНИЯ

 

образом. Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к

твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы

сил был равен нулю и главный векторный момент системы относительно

любого центра приведения также был равен нулю.

 

 

Иначе: для того,

чтобы

 

( F1, F2 ,

…, Fn )

0, необходимы

два

условия:

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R = 0;

МО = 0.

 

(3.1)

Условия (3.1) являются векторными условиями равновесия любой

системы сил. Аналитическая форма условияИравновесия сил

формулируется следующим образом. Для равновесия системы сил,

приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы модуль

главного вектора системы сил и модуль главного момента этих сил

относительно любого центра были равны нулю.

 

 

156

 

 

 

 

 

2

 

2

2

0;

 

 

 

 

 

 

R Rx

Ry

Rz

 

 

 

(3.2)

 

 

M

M 2 M 2 M 2

0.

 

 

 

 

o

 

 

x

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия (3.2) являются аналитическими условиями равновесия

любой системы сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1.1. Уравнения равновесия пространственной системы сил

Из двух услов й (3.2) равновесия

вытекают шесть

скалярных

уравнен й равновес я (условий равновесия) в виде проекций сил и

записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекц й векторных моментов сил на три оси координат:

 

 

 

 

Rx 0;

 

Ry 0;

Rz 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3)

 

 

М

 

0;

М

 

0;

М

 

 

0.

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

равновесия

системы сил в

Из (3.3) можно

 

 

 

 

 

уравнения

окончательном в де:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

А

 

 

Fix

0;

 

 

Fiy

0;

 

Fiz 0 ;

(3.4)

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

M x

(Fi )

0;

M y

(Fi )

0;

 

M z (Fi ) 0 .

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

Таким образом, для

равновесия пространственной системы сил,

 

 

 

 

 

 

Д

приложенных к твердому

телу,

необходимо

 

и

достаточно,

чтобы три

суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

Из общих уравнений равновесия для произвольной пространственной системы сил (3.4) получают уравнения равновесияИдля частных систем сил, приложенных к твердому телу.

157

3.1.2. Уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось Оz параллельно

силам F1, F2 , …,

Fn (рис. 3.1). Тогда

проекции

параллельных

сил на

С

 

 

перпендикулярные им оси Оx и Oy

будут

равны

нулю,

и

уравнения

n

0;

n

 

0

 

окажутся

F

F

 

i 1 ix

 

i 1

iy

 

 

 

оси

справедл выми

 

для

всех систем

параллельных с

л, т.е.

превратятся в

тождества.

 

 

Оz

 

 

 

Момент

относ тельно

каждой из

параллельных сил равен

нулю,

уравнен е

n

 

тоже выполняется для всех

систем

Мz (F) 0

 

 

 

i 1

 

 

 

 

параллельных

с л.

От расывая

уравнения

равновесия,

которые

выполняютсябтождественно при выбранном направлении оси Оz, и учитывая, что сумма проекций сил на эту ось является алгебраической суммой сил, из (5.13) получаем следующие три уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил:

приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю.

 

n

 

n

 

n

 

 

 

 

Fiz 0 ;

M x (Fi ) 0;

M y (Fi ) 0

,

(3.5)

т.е.

i 1

 

i 1

 

i 1

 

 

 

для равновесия пространственной системы параллельных сил,

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

3.2. Уравнения равновесия плоской системы сил

относительно этих осей равны нулю, так как ониИпересекают эти оси или параллельны им.

Расположим оси Оx и Oy в плоскости действия сил (рис. 5.5). Так как

ось Oz перпендикулярна силам, то

n

выполняется для всех

Fiz 0

 

i 1

 

плоских систем сил, т.е. является тождеством. Каждая из сил расположена

в одной плоскости с осями координат Оx и Oy

и поэтому ее моменты

158

Таким образом, уравнения равновесия

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

M x (Fi ) 0;

 

M y (Fi ) 0

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

для плоской системы сил являются

 

 

 

тождествами. Моменты сил относительно

 

 

 

оси Oz, перпендикулярной силам, равны

 

 

 

алгебраическим моментам

этих

сил

 

 

 

относительно точки О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(Fi )

n

 

 

 

 

 

Так м образом, M z

M o (Fi ) .

 

 

 

три

i 1

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

СИз (3.4) для плоской системы сил после отбрасывания тождеств имеем

уравнен я равновес

я:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

n

 

 

были

M O

(Fi ) 0 ,

(3.6)

 

 

Fix

0;

Fiy

0;

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

т.е. для равновес я плоской системы сил, действующих на твердое тело,

необход мо

 

достаточно,

что ы суммы проекций этих сил на каждую из

двух прямоугольных

осей координат, расположенных в плоскости

 

 

 

А

 

действ я с л,

равны нулю и сумма алгебраических моментов сил

относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также

была равна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для плоской системы параллельных сил одну

 

 

из осей координат, например Оy, можно выбрать

 

 

параллельной

силам

(рис. 3.3). Тогда сумма

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

проекций параллельных сил на эту ось

 

 

превратится в алгебраическую сумму сил.

 

 

Проекция каждой из сил на ось Оx равна нулю;

 

 

следовательно, сумма проекций сил на ось Оx

 

 

равна нулю, даже если система сил не находится

 

 

в равновесии. Это уравнение является

 

 

тождеством и его следует отбросить.

 

 

 

 

 

Итак, для плоской системы параллельных сил из (3.6) имеем

следующие уравнения равновесия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

0;

n

(3.7)

 

 

 

 

 

 

F

M

(F ) 0 ,

 

 

 

 

 

 

i 1

iy

 

ИO i

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

т.е. для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов относительно

любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю.Из уравнения равновесия плоской системы сил (3.6) можно получить уравнения плоской системы сходящихся сил, для чего за моментную точку

159

надо взять точку пересечения линий действия сходящихся сил. Тогда последнее из уравнений станет тождеством и в качестве уравнений равновесия для плоской системы сходящихся сил останутся только два первых уравнения (3.6).

С

3.3. Распределенные силы

 

распределены силы с

На участке АВ прямой линии длиной l

постоянной нтенс вностью q (рис. 3.4, а).

Заменим эти силы

равнодействующей. Для этого выделим участок dx и определим

этих

 

 

элементарную сосредоточенную силу на этом участке dQ = q dx.

 

Равнодействующая

сил равна сумме, т.е. интегралу от выражения

 

 

Q = l qdx = ql.

(3.8)

 

 

O

 

б

 

Равнодействующая сила Q приложена посередине отрезка в точке С.

Рассмотрим случайАсил, распределенных на отрезке АВ (рис. 3.4, б) по

линейному закону, т.е. по закону треугольной эпюры. Заменим

треугольную эпюру параллельных сил равнодействующей.

ля участка dx

dQ = q dx.

И

 

 

 

 

Интенсивность q в точке, определяемойДкоординатой x, найдем из

подобия треугольников q = qmax x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда равнодействующая треугольной эпюры распределенных сил

равна интегралу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l

q

max x dx

=

q

max

l

.

(3.9)

Q = qdx =

 

 

 

 

O

O

 

l

 

 

2

 

 

 

Модуль равнодействующей по формуле (3.9) равен площади эпюры. Точка приложения равнодействующей силы Q проходит через центр тяжести эпюры на расстоянии 2l/3 от вершины треугольника.

160

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос