Материал: 2192

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

КИНЕМАТИКА

ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ

	Материальная точка может рассматриваться как модель твердого
тела, совершающего поступательные движения, когда размеры твердого
С
тела не имеют существенного значения.
В	разделе	«Кинематика»				изучают
движен я точек, тел и механических
систем в заданных с стемах координат;
характер ст ки		механ ческого			движения
материальных		точек		тел,	которыми
являются траектор			,	,	ускорения
и	методы х	определения при				разных
	б
случаях задан я дв			жен	я.
	Дв жен е матер альных о ъектов рассматривают в плоскости или
пространствескорости; спользуют эвклидово трехмерное пространство и
различные с стемы координат: правую декартову прямоугольную систему
координат Oxyz (р с. 41.1), цилиндрическую систему координат ρ, φ, z и
			ТИКА
сферическую систему координат					r,	θ, φ (радиус-вектор, широта и долгота),
полярную систему координат ρ, φ в плоскости, а также другие системы
координат. Основными разделами кинематики являются: кинематика
точки, твердого тела и механической системы.
						Д
				4. КИНЕМ		ТОЧКИ
		4.1. Способы задания движения точки
	Движение	точки		считают заданным, если в выбранной			системе
						И
отсчета можно определить положение точки в любой момент времени.
Движение точки можно задавать разными способами. Рассмотрим
основные из них.
	4.1.1. Векторный способ задания движения точки
	При векторном способе задания движения положение точки на
траектории определяют концом радиуса-вектора r , проведенного из
некоторой неподвижной точки О:						r r( t ) .	(4.1)

Векторное уравнение (4.1) представляет собой уравнение движения точки. Точка движется по траектории, которая задана концом радиуса-

166

вектора. Уравнение (4.1) можно записать в проекциях на декартовы оси координат Ox, Oy, Oz

r i х jy kz,

(4.2)

где i , j ,k – единичные векторы-орты координатных осей.

4.1.2. Координатный способ задания движения точки

Дв жен е точки задают в декартовой системе координат путем задания коорд нат точки в виде скалярных функций времени (рис. 4.2)

х=f1(t);	у= f2(t); z= f3(t).		(4.3)
СУравнен я (4.3) представляют
собой уравнен я дв жения точки в
декартовой		прямоугольной	системе
координат, они позволяют для каждого
момента времени указать положение
точкив выбранной с стеме Oxyz.
Поэтому уравнен я (4.3) являются также и уравнениями траектории
		А
точки, заданными параметрически. Для получения явного вида уравнения
траектории бследует получить уравнение f(х,у,z)=0, в котором отсутствует
время t. Уравнение (4.2) связывает векторный и координатный способы
задания движения точки.			Д
Пример 1.
Движение точки задано в векторной форме уравнением
		r (2t 3)i t 2 j 4 k .

Записать уравнения движения точки в координатной форме.

Решение.

В соответствии с формулой (4.2) х=2t – 3; y= – t2; z=4.

Уравнение (4.2) позволяет также перейти от координатного способа задания движения точки к векторному.

Пример 2. Движение точки в плоскости Оxy задано уравнениями x=2t; y=8t2.

Определить траекторию точки, начало и направление движения.
Решение. Исключим из уравнения движения параметр t. з первого
уравнения находим t	x	И
		и, подставляя это значение t во второе уравнение,
2
получаем y=2x2.

167

Следовательно, получено уравнение параболы с
Следовательно, получено уравнение параболы с
вершиной в начале координат и осью, совпадающей с
осью Оy (рис. 4.3). В начальный момент времени t0=0
координаты точки x0=0; y0=0. Следовательно, точка
начинает движение из начала координат. При любом
значении времени t координаты точки x и y будут
С
положительными, поэтому траекторией будет не вся
парабола, а только правая её ветвь.
отсчитываетсяДля задан уравнен я движения точки
	4.1.3. Естественный способ задания движения точки
Пусть точка дв жется				по заданной криволинейной траектории. При
естественном спосо			задания движения точки задают: траекторию точки;
начало	направлен е			отсчёта дуговой координаты s, которая
		начала отсчета.
по траектор		нео ходимо вы рать			на
заданной траектор			точку О, принимаемую
			А
за начало отсчёта дуговой координаты (рис.
4.4). Обычнобза t=0 принимают момент
времени, когда движущаяся точка проходит
через точку О. Дуговая координата
рассматривается			как	координата,
отсчитываемая			по	Д
отсчитываемая			по	криволинейной
траектории. Зависимость				s s(t)		(4.4)

является уравнением движения точки по траектории.

Необходимо отметить, что величина s в уравнении (4.4) определяет дуговую координату (положение) на траекторииИдвижущейся точки, а не пройденный ею путь. Например, точка, совершая колебательное движение вдоль траектории относительно точки О, окажется в итоге в положении М. Пройденный за время движения путь σ не равен дуговой координате s. Эти параметры будут совпадать только в том случае, когда точка движется в направлении отсчёта дуговой координаты. Покажем связь между координатным и естественным способами задания движения точки. Известно, что элемент дуги ds связан с координатами движущейся точки следующим уравнением:

ds (dx)2 (dy)2 (dz)2 .

Интегрируя это уравнение, получим уравнение движения точки

168

s(t) t

Vdt ,

(4.5)

где V – скорость точки.

Здесь s(0) 0;

dx xdt;

dy ydt;

dz zdt.

Если точка движется в плоскости Oxy, то уравнение движения точки

выражается, согласно теореме Пифагора (рис. 4.5),

dx2 dy2 ,

(4.6)

и после

нтегр рован я – в конечной форме

(t)

0 Vdt.

(4.7)

прямол нейном движении точки путь

будет выч сляться по формуле

Vdt.

(4.8)

(t) xdt

При

4.2. Скорость

ускорение точки при векторном способе

задания движения

4.2.1.Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является её

скорость относительно выбранной системы отсчёта, которая изображена в

виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 4.6).

Положение движущейся точки М в

рассматриваемой

системе

отсчёта

определяется в момент времени t

радиусом-

вектором

r ,

который

соединяет

неподвижную точку О с этой точкой. В

другой

момент

времени

t1 t t

движущаяся точка займёт положение M1 и её

радиусом-вектором будет r1 . За время ∆t

радиус-вектор движущейся точки изменится

на r

r1 r.

Vср

Средней

скоростью

точки за

время

∆t называют отношение

. Средняя скорость совпадает с вектором r . В общем случае она

ср

осреднения ∆t.

зависит

от времени

Введём

понятие действительной

169

Годографом вектора называют геометрическое место

скорости точки V в момент времени t, которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется

средняя скорость, стремится к нулю, т.е. V lim	r	dr .
t 0	t	dt
Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от

Сеё радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки. Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа.

конца вектора, если переменный вектор в различные моменты времени

откладывать от одной той же общей точки.

радиусаразличные-вектора r (р с. 4.6). Последовательные положения вектора r в моменты времени откладываются в этом случае от точки О.

огласно определению, траектория точки является годографом

Первая про зводная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленнаябпо касательной к траектории, т. е. к годографу радиуса-вектора.

Годографом вектора скорости является линия, на которой располагаются концы вектора скорости в различные моменты времени,

если их начала совместить в одной общей точке (рис. 4.7).
Для	построения годографа Двектора скорости выбирают точку,
например О (рис. 4.7,б), и начала векторов скорости для различных
моментов времени помещают в эту точку, не изменяя их направлений.
Каждой точке М траектории (рис. 4.7,а) соответствует своя изображающая
точка АМ	на годографе вектора скорости (см. рис. 4.7,б). Масштаб
скоростей при построении годографа вектора скоростиИможет быть выбран
отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории.
При движении точки М по траектории соответствующая ей изображающая
точка АМi	движется по годографу вектора скорости.

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка, при неравномерном движении – отрезок этой прямой.

170

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос