Материал: 2192

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ТЕОРИЯ

ВЕКТОРНЫХ МОМЕНТОВ СИЛЫ

2.1. Алгебраический момент силы относительно точки

Для

плоской

системы

сил,

приложенных к твердому телу, используют

понятие алгебраического

момента

силы

относительно точки.

Алгебра

ческ

моментом

силы

относительно

точки

называют

произведен е модуля силы на плечо

ли

силы относ

тельно этой точки, взятое со

Сзнаком плюс ли м нус (рис. 2.1).

точки

называют кратчайшее

Плечом

h с лы

относительно

расстоян е между этой точкой и линией действия силы, т.е.

длину

перпенд куляра, опущенного из точки О на линию действия силы F .

Обознач м М

( F )

алгебраический момент силы F

относительно точки О.

Тогда

( F ) = Fh .

(2.1)

Если силабстремится вращать тело

вокруг

данной точки

против

часовой стрелки, то

ерем знак плюс, если по часовой стрелке знак

минус.

Из определения алгебраического момента силы относительно точки

следует, что он не зависитАот переноса силы вдоль линии ее действия.

Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной

площади треугольника, построенного на силе В и моментной точке:

МО ( F ) =

2 пл.

ОАВ.

(2.2)

151

2.2. Векторный момент силы относительно точки

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор,

приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки, расположенный перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, и направленный так, чтобы, смотря навстречу вектору, видеть силу, стремящуюся вращать тело против движения часовой стрелки

(рис. 2.2).

Векторный

момент

силы

определению

( F ) или

относительно точки О обозначим

МО , а его ч словую вел чину

МО (F )

Тогда, согласно

О (F )

= Fh .

Как

для

алге раического

момента,

векторный момент с лы относительно точки

равен удвоенной площади треугольника,

построенного на силе и моментной точке:

МО (F )

= б2 пл. ОАВ.

Справедлива формула

(2.3)

M O (F)

F ,

где r радиус-векторА, проведенный из моментной точки О в точку

приложения силы.

Покажем

справедливость

векторного

выражения (2.3) следующим

образом.

Угол

между векторами

равен (r , F) . Тогда из

прямоугольного треугольника ОАС найдем плечо силы h = r sin

и модуль момента силы

МО = F r sin .

152

Формула модуля векторного выражения (2.3) совпадает с полученной

формулой

для

МО .

Значит,

действительно формула (2.3) является

векторным моментом силы F относительно точки О.

Вектор

r F

перпендикулярен плоскости, в которой расположены

векторы

F , т.е. плоскости треугольника ОАВ, которой

перпенд кулярен

векторный момент МО ( F ).

Так м образом, векторный

момент МО

является

третьим вектором,

приложенным в центре О, перпендикулярно векторам

r и

F ,

направленным

вектору МО видеть

F ,

так, чтобы смотря навстречу

силу

стремящуюся

вращать тело прот в часовой стрелки.

Если с ла F дана своими проекциями Fx ,

Fy ,

Fz на оси координат и

даны коорд наты

x, y, z

приложения этой силы (рис. 2 3), то

точки

векторный момент с лы относительно начала координат можно записать с

помощью определ теля

МО(F )= r

xFz ) j (xFy yFx )k , (2.4)

( yFz

zFy ) i (zFx

Fx Fy Fz

где i , j ,

единичные векторы осей координат.

Выражения в круглых скобках перед

векторами

i ,

j ,

формулы (2.4)

являются проекциями вектора

МО

( F ) на

оси координат:

МОx (F) yFz zFy ;

(2.5)

МОy (F) zFx xFz ;

Оz

(F) xF

yF .

Модуль векторного момента МО ( F ) и косинусы его углов с осями координат определяют по формулам

153

(F)

( yF

(zF

)2 (xF

yF )2 ;

Оx (F)

МОy

(F)

cos(М

О ,i )

;

cos(МО ,

;

(2.6)

О (F)

МО (F)

МОz (F)

cos(М

О , k )

МО (F)

В формулах (2.6) ч словую величину МО(F ) берем со знаком плюс.

относительно

2.3. Момент силы относительно оси

Моментом

лы

относительно

оси

Оz

называют алгебраический

момент

Мz

проекц

этой силы на плоскость, перпендикулярную

оси, относ тельно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 2.4).

Момент

с лы

оси

считают

положительным,

если,

смотря

навстречу

оси, видим проекцию силы на

плоскость,

перпенд кулярную оси,

стремящуюся вращать

тело

против

часовой

стрелки, и отрицательным, если она

стремится вращать тело по часовой

стрелке.

F на плоскость

Проекция силы

рассматривается как вектор FП .

Момент

силы,

например,

относительно

оси

обозначим

Мz (F) . По определению,

Мz Мz (F)

= МО (FП ) = hF cos h FП ,

(2.7)

где FП

вектор проекции силы F на плоскость П, перпендикулярную оси

Оz; О точка пересечения оси Оz с плоскостью П; угол вектора силы

F с плоскостью П.

Из определения момента силы относительно оси следует, что алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь

треугольника, построенного на проекции силы FП и точке пересечения О

оси с плоскостью:
Мz Мz (F) = h FП	= 2 пл. ОА1В1.	(2.8)

154

2.4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Используя формулу (2.2) и рис. 2.5,
запишем момент силы относительно оси:
Мz = Мz (F) = 2 пл. ОА1В1.							(2.9)
С					относительно
Векторный момент силы F
точки О, взятой на пересечении оси Оz с
перпенд кулярной плоскостью П, равен
МО =	МО(F )	= 2 пл. ОАВ.			(2.10)
фигуры							1 1
Векторный момент МO ( F ) направлен перпендикулярно плоскости
треугольн ка ОАВ. Из геометрии известно, что площадь проекции плоской
равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус
угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между
	б						перпендикулярами	к этим
плоскостями змеряется			углом		между
плоскостям. Перпенд куляром к плоскости треугольника ОА В								является
ось Oz, а перпенд куляр			к плоскости треугольника ОАВ векторный
момент МО ( F ). Так м о разом, 2 пл. ОА1В1 = 2пл. ОАВcos , где
		А
угол между вектором МО ( F ) и осью Оz. Отсюда имеем
						cos .
		Мz (F) =		МО	(F )			(2.11)
			Мz = МО cos .					(2.12)
					Д
	2.5.Теорема высот треугольника

На рис. 2.6 сила F , совпадающая со стороной АВ треугольника АВС, стремится вращать твердое тело относительно точки С.

Моментом МC (F )	силы	F относительно центра С является
произведение силы		И
произведение силы	F на плечо h, которое совпадает с высотой h

треугольника, опущенной из вершины С на основание АВ.

Для определения высоты h треугольника удобно пользоваться теоремой, которую в 2010 г. предложили В.Н. Тарасов и .В. Бояркина:

квадрат высоты вершины треугольника равен разности квадратов гипотенузы и катета: гипотенуза равна произведению двух сторон, образующих вершину, поделенному на основание; катет равен сумме квадратов сторон, образующих

эту вершину минус квадрат основания, поделенные на удвоенное основание.

Для треугольника АВС (см. рис. 2.6) стороны которого известны: ВС=а;

АС=b; АВ=с, имеем

		a b		2		2	b	2	c	2	2
h	2	a b			a		b		c			(2.13)
h			c				2c				.	(2.13)
			c				2c

155

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос