Материал: 2187

1. а) 1,4;1,44;1,444; ; б)an

4n 1 7n 1

; в) an

n3 cos n.

4n 7n

2. а) lim

; б)

lim

x

2

x

3

2

; в)

lim

x

2

25

;

4

2

С

x 3x

x

3x

lim

1 x

1

; д) lim

x5 4

x

; е) lim

sin6x

ж) lim

sin2

5x

г)

x5

5x

;

2

;

x 03 1 x 1

x 0 3 x2 6

x 0

x 0 4x

и

6

1

x

х 5 x 2

1

4

з)

lim 1

x

;

)

lim

; к)

lim 2x 3 .

x

x х 1

x 3 0

3. а) f (x)

x 2

sinx,

x 0;

;

) f (x)

х 0.

x2 7x 10

x,

4.

f (x) x4

; x

0

0; x 0,01.

5. а) y

3tg x

y sin 4

; в)

y

xcos(x2 1);

ex

1

г)

y arcctg(1 e2x ).

6. x2 y2 2xy 3x3 y 0.

2

5t;

x 2t

7.

2

б4t 1. А

y 3t

8. cos59о .

Д

9. y sin

x

;

x0

.

4

10. y (sinx)x .

11. а) y

x

; б) y

1

.

И

1 x2

x

2 4

12. y

4

8x 15; 2; 0,5 .

x2

Вариант № 25

1. а) 1,7;1,77;1,777; ; б)an

4n 1 7n 1

; в)

an

cos

n

.

4n 7n

2

2. а) lim

2x4 4x2 1

; б)lim

x2

x3

2

; в)

lim

x2 1

;

2

x x4 2x2 3

x x2 x5 4

x 1 x

4x 5

4

г)lim

; д)

lim

x

x3

; е) lim

sin2 6x

x 2

x

;

x

x 0 3 x2 44 x

x 0

4x2

2

1

x

х 3

x 2

1

1 cos6x

2

ж) lim

; з) lim 1

; и) lim

; к)

lim 63 x .

x

х 2

5x

x 0

x

x

x 3 0

x 1

2 x,

0 x 1;

3. а)

f (x)

;

б) f (x) 4 2x,

1 x 2,5;

2

Сx 7x 8

2x 7,

2,5 x .

4. f (x) x3 ;

x0 0;

x 0,1.

иy x 1

y

x

2

sin

2

x;

5. а)

3tgx 1

;

)

y

log2(cosx); в)

г) y arccos

1 x2

.

6. 2x3y2 2xy 3x 3y 7 0.

x 2t3 t2;

7.

t.

y 3t4

8. cos92о .

9. y x2 3x 2;

x0 2.

И

10. y (cosx)lnx .

x 2

x2

11. а) y

Д

; б) y

.

x 1

y x

; 0;9 .

Пример выполнения типового расчета

1. Найти пределы числовых последовательностей или устано-

вить их расходимость.

( 1)n 1

а) (an):

1

1

1

1

;

;

;

; ;

;

6 8

2n

сходится

lim a

( 1)n 1

lim

0

Сn

n

n 2n

n 2n

и последовательность

.

бА

б)a

n

n2

2

.

3n 1

Решен е.

В данном случае имеем неопределённость вида

.

1

2

n2

lim a

lim

2

lim

n2

1 0

1

,

3n

1

Д

n

n

n

3

1

n

последовательность сходится.

И

в) an ncosn2 .

Решение.

Представим

данную

последовательность

в

виде

произведения двух последовательностей: a

b c ,

где

bn

n;

cn cosn2.

n

n

n

lim b . Последовательность c

Очевидно,

n

в силу свойств

n

n

косинуса является ограниченной: 1 cn

1. Таким образом,

члены

последовательности

an

при

n будут принимать как неогра-

а)

lim

x2

x 2

.

2

x 3x

x 2

Решение.

.

Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на наивысшую

x

2

x 2

1

1

2

1 0 0

1

x2

lim

lim

x

.

3x

2

x 2

x

1

2

3 0 0 3

Сx

3

x

x2

б2 3А

3x

2

2x

3

3

иx

1

8

Д0

x 3x 2x 3

x 3

2

3

0 2 0

x

x2

в)

lim

x2 4

.

И

x 2 x2

5x 14

Решение.

В данном случае имеем неопределённость вида

.

0

Чтобы раскрыть её,

преобразуем данную функцию, предварительно

разложив на множители числитель и знаменатель:

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

4

.

x2 5x 14

x 2

x 2 (x 2)(x 7)

x 2 x 7

9

г) lim

1

.